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PAGE 对一道上海中考题的探索 阳吴宝 吴志英 05年上海市中考数学最后一道题是： 在中，，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作，交线段AB于点P，交射线CB于点F。 （1）如图1，求证： 图1 （2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。 （3）当时，求线段AP的长。 分析：这道题将几何中的相似与代数中的函数及方程有机地结合起来，融分类讨论思想，由一般到特殊的辩证思想等于一体，全面考查了学生综合运用的能力、逻辑推理能力和计算能力。 本题的难点有两个：一是函数中自变量x的取值范围的确定，条件中“以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，”这说明E点在线段AC上（不包括点A，当点O与点A重合时，圆O不存在）即； 二是分类讨论，动点O在运动的过程中，存在线段PE与线段CB相交及线段PE与线段CB的延长线相交两种情况，如图1和图2。 图2 此题的关键是：建立起二对相似三角形与，与之间的线段的比例关系。 解：（1）如图1，连结OD 由圆O与边AB相切于点D，得 因为OE＝OD 所以 因为 所以 又因为 所以 （2）因为 所以AC＝5 由，得 所以 当点O在边AC上移动时，总有 所以 即 因为 即 所以 （3）因为 所以 因为 所以 易证明 所以 因此，当时， ①若EP交线段CB的延长线于点F（如图1），则 ②若EP交线段CB于点F（如图2），则 反思： 1. 题（3）还有没有其他的解法，线段BF的长与x之间是否也存在某种函数关系呢？ 2. 如果将题目给出的条件“O点为斜边AC上的一个动点”改为“O点为直角边AB上的一个动点”结论会怎样？ 3. 如果将条件中的“直角三角形”改为“等腰直角三角形”，结论又会怎样呢？改为“等腰三角形”或“等边三角形”呢？ 探索 1. 关于题（3）解法的探索 解法2①若EP交线段CB的延长线于点F（如图1） 因为 所以（即） 因为 所以 即 当BF＝1时 因为 所以 解 所以，即AP＝2 ②若EP交线段CB于点F（如图2），类似①，可得CF＝CE 当BF＝1时， 所以 解得 所以 即AP＝6 注：解法2的关键是利用图中的等腰，建立BF与AC的等量关系。 解法3：由 得 由勾股定理得 由得 在中 （或） 由勾股定理得 所以 解得或 即AP＝2或6 注：解法3巧妙地借助勾股定理建立方程，得出两解，检验解的正确性，来联想到分类讨论，这种解法，可以防止漏解的情况出现。 解法4：由 ，得 由，得 所以 在中， 或 所以 或 当BF＝1时，可解得或 所以y＝2或6 注：解法4主要是建立起线段BF的长与x之间的函数关系，通过已知函数值来求自变量x的值，由此也得出了线段BF的长与x之间的函数关系式。 2. 条件改变后的探索 （i）若将条件“O点为斜边AC上的一个动点”改为“O点为直角边AB上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AC相切于点D，交线段OB于点E，CF＝1”，如图3。 图3 解：（1）结论仍成立 （2）同上分析（略） （3）①若EP交线段BC的延长线于点F（如图3） 因为 所以 由，得 因为， 所以 故CF＝CP 若CF＝1，则 ②若EP交线段BC于点F（如图4） 图4 同理可证CF＝CP，若CF＝1 则 （ii）若将条件“直角三角形ABC”改为“等边三角形ABC，边长AB＝6”，如图5，其它条件不变。 图5 解：（1）结论仍成立 （2）在中， 则 所以 由，得 所以 因为 即 所以 （3）在图5和图6的两种情况中，均可证明的三个内角的度数总是不变的，分别为，若已知BF的长，则利用正弦