人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理应用.docxVIP

 PAGE \* MERGEFORMAT 11 正弦定理和余弦定理的应用 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断 教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。 与实际应用问题有关的名词、术语  = 1 \* GB3 ①铅直平面：与水平面垂直的平面  = 2 \* GB3 ②坡角：坡面与水平面的夹角  = 3 \* GB3 ③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比  = 4 \* GB3 ④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角  = 5 \* GB3 ⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角  = 6 \* GB3 ⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角  = 7 \* GB3 ⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于  = 8 \* GB3 ⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 解三角形应用问题步骤 准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语； 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题； 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解； 检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。 类型一：测量距离、高度问题 例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定两点间的距离的是（） A.角和边 B.角和边 C.边 和角 D.边和角 解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D 答案：D 练习1. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为(　　) A．eq \f(400,3)m　 B．eq \f(400\r(3),3)m C．200eq \r(3)m　 D．200m 解析：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200， ∠ADM＝30°，∠ACB＝60°∴BC＝eq \f(200,tan60°)＝eq \f(200\r(3),3)，AM＝DMtan30°＝BCtan30°＝eq \f(200,3). ∴CD＝AB－AM＝eq \f(400,3). 答案：A 练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为(　　) A．10eq \r(2)m　 B．20m C．20eq \r(3)m　 D．40m 解析：设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝eq \r(3)xm，在△BCD中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°， ∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)． 答案：D 例2：一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过eq \r(3)h，该船实际航程为________． 解析：如图，水流速和船速的合速度为v， 在△OAB中： OB2＝OA2＋AB2－2OA·AB·cos60°， ∴OB＝v＝2eq \r(3)km/h. 即船的实际速度为2eq \r(3)km/h，则经过eq \r(3)h，其路程为2eq \r(3)×eq \r(3)＝6 km. 答案：6 km 练习3：在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________． 解析：由题意，作出图形如图所示， 设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD＝30°，∠BAC＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB＝180°－135°－30°＝15°， 又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(AB,sin15°)＝eq \f(AC,sin30°)， ∴AC＝eq \f(AB×sin