实验6 常微分方程及级数.pptVIP

实验6 微分方程与级数 实验目的： 学习 Matlab 命令 求解一阶微分方程 求解二阶微分方程 Taylor 展开式 级数求和 * * 1. 学习 Matlab 求解微分方程命令dsolve； 2. 学习 Matlab Taylor 级数展开命令； 3. 巩固幂级数的收敛半径、和等概念。 实验内容： 1. 学习Matlab命令 Matlab求解微分方程命令 dsolve 调用格式： dsolve(‘微分方程’) 给出微分方程解析解，表示为ｔ的函数； dsolve(‘微分方程’,’初始条件’) 给出微分方程初值问题的解析解，表示为ｔ的函数； dsolve(‘微分方程’,’变量 x’) 给出微分方程的解析解，表示为 x 的函数； dsolve(‘微分方程’,’初始条件’,’变量 x’) 给出微分方程初值问题的解析解，表示为x的函数； 求函数的Taylor 展开式 taylor 命令，调用格式： taylor(‘f(x)’) f(x) 的5次 Taylor 多项式； taylor(‘f(x)’,n) f(x)的n-1次Taylor多项式； taylor(‘f(x)’,a) f(x)在 a 点的Taylor多项式。 求级数和命令 symsum，调用格式： symsum(S,n) symsum(S,k,m,n) 2. 求解一阶微分方程 微分方程在输入时，y’应输入Dy，y”应输入D2y，D应大写。 例1 syms x; dsolve(‘Dy+2*x*y=x*e^(-x^2’)) 在 Command Window中键入： 求下面微分方程的通解 ans = 1/2*e^(-x^2)+exp(-2*x*t)*C1 系统默认的自变量是 t，把 x 当作常数，把 y 当作 t 的函数求解。若输入命令： syms x; dsolve(Dy+2*x*y=x*e^(-x^2),x) ans = -1/2/(-1+log(e))*exp(-x^2*log(e))+exp(-x^2)*C1 例2 dsolve(x*Dy+y-exp(x),y(1)=2*exp(1),x) 在 Command Window中键入： ans = 1/x*exp(x)+1/x*exp(1) 例3 dsolve((x^2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0, y(0)=1, x) 在 Command Window中键入： ans = (sin(x)-1)/(x^2-1) 3 求解二阶微分方程 例4 dsolve(D2y+3*Dy+exp(x)=0,x) 在 Command Window中键入： ans = -1/4*exp(x)+C1+C2*exp(-3*x) 例5 dsolve(D2y-exp(2*y)*Dy=0,x) 在 Command Window中键入： ans = [ 1/2*log(-2*C1/(-1+exp(2*x*C1+2*C2*C1)))+x*C1+C2*C1] [ C2] syms x;taylor(cos(x)) 4 Taylor展开式 例6 ans = 1-1/2*x^2+1/24*x^4 syms x; taylor(cos(x),pi/3,7) ans = 1/2-1/2*3^(1/2)*(x-1/3*pi)-1/4*(x-1/3*pi)^2 +1/12*3^(1/2)*(x-1/3*pi)^3+1/48*(x-1/3*pi)^4-1/240*3^(1/2)*(x-1/3*pi)^5-1/1440*(x-1/3*pi)^6 5 级数求和 例7 syms n; symsum(1/2^n,1,inf) ans = 1 syms n; symsum(sin(pi/(n*(n+1))),1,inf) 例8 ans = sum(sin(pi/n/(n+1)),pi = 1 .. inf) 由结果看，其中仍含有sum，说明matlab不能求其和，可采用其它判别法。 取比较级数为 p 级数 p 级数收敛，故原级数收敛。 limit(sin(pi/(n*(n+1)))/(1/n^2),n,inf) 取二者通项比值的极限 ans = pi *