第一篇 数学建模概论.doc

第一章 数学建模概论 随着计算机的不断更新和科学技术的迅猛发展.数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而逐步深入到人类活动的各个方面.生物、医学、社会、经济……，各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，急待人们去研究、去解决.应用数学知识去研究和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型.从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础.没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一。 1.1数学模型与数学建模 原型和模型 原型(Prototype)和模型(Model)是一对对偶体.原型是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象.在科技领域通常使用系统(System)、过程(Process)等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统，又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等.本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型.模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物. 这里特别强调构造模型的目的性.模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次. 一个原型，为了不同的目的可以有许多不同的模型.如放在展览厅里飞机模型应该在外形上逼真，但不一定会飞.而参加航模竞赛的模型飞机要有良好的飞行性能，在外观上不必苛刻.至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟，则只要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特性，毫不涉及飞机的实体.所以模型的基本特征是由构造模型的目的决定的. .前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等. 直观模型 指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能，风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性.有些分别代表船速、水速，可以列出方程 ， 实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型.列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题.方程的解=20km/h，=5km/h，最终给出了航行问题的答案. 当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型的基本内容已经包含在解这个代数应用题的过程中了.那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求的未知量（代表船速和水速）；利用相应的物理或其它规律（匀速运动的距离等于速度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程）；求出数学上的解答（=20，=5）；用这个答案解释原问题（船速和水速分别为20km/h和5km/h）；最后还要用实际现象来验证上述结果. 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.而建立数学模型的全过程称为数学建模，它包括模型的建立、求解、分析和检验的全过程.从实际问题到数学模型，由从数学模型的求解结果回到现实对象，数学建模的全过程可以表示为图1. 图1 揭示了现实对象和数学模型的关系.一方面，数学模型是将现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实.另一方面，只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时，才可以用来指导实际，完成实践——理论——实践这一循环. 1.2数学建模的基本方法和步骤 为了更清楚地说明，让我们来看个具体实例.? 对于这类智力游戏经过一番思索是可以找出解决办法的.这里用数学模型求解,一是为了给出检模的示例,二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题,比逻辑思索的结果容易推广. 由于这个虚拟的问题已经理想化了,所以不必再作假设. 安全渡河问题可以视为一个多步决策过程.每一步, 即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸,都要对船上的人员(商人、随从各几人)作出决策,在保证安全的前提下(两岸的随从数都不比商人多),在有限内使全部人员过河.用状态(变量)表示某一岸的人员状况,决策(变量) 表示船上的人员状况,可以找出状态随决策变化的规律.即问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件),确定每一步的决策,达到渡河的目标. 模型构成 记第次渡河前此岸的商人数为，随从数为, .将二维向量定义为状态. 安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合,记作. (1) 不难验证, 对此岸和彼岸都是安全的. 记第次渡船上的商人数为，随从数为,将二维向量定义为决策. 允许决策集合记作,由小船的容量可知 (2) 因为为奇数时船从此岸驶向彼岸, 为偶数时船由彼岸驶回此岸,所以状态随