4.3_协方差和相关系数.pptVIP

在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。 在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于 父亲的身高和其成年儿子身高的关系. 收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据, 画出了 这里有两个变量： 一个是父亲的身高， 一个是成 年儿子身高. 为了研究二者关系. 英国统计学家皮尔逊 一张散点图. 那么要问：父亲及其成年儿子身高是一种什么关系呢？ 类似的问题有： 吸烟和患肺癌有什么关系？ 受教育程度和失业有什么关系？ 高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？ 我们需要从理论上对两变量的相互关系加以研究. 为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题， 这一讲就来讨论这个问题. 协方差 一、协方差与相关系数的概念 定义 若随机变量 X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称 Cov(X, Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]} 为X与Y的协方差（covariance ）, 易见 Cov(X, Y)=E(XY)－E(X)E(Y). 协方差 证明 特别的，当随机变量X与Y 相互独立时，有 协方差性质 (1) Cov (X, Y)=Cov (Y, X); (2) Cov (X，X)=D(X); Cov (X ，c)=0 (3) Cov (aX, bY)=abCov (X , Y), 其中a，b为 常数； (4) Cov (X+Y，Z)=Cov (X, Z)+Cov (Y, Z); (5) D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2Cov (X, Y) . 相关系数的定义 协方差是对两个随机变量的协同变化的度量，其大小 为避免随机变量本身度量单位不同而影响它们相互 关系的度量，可将每个随机变量标准化，即取 在一定程度上反映了X和Y间的相互关系，但它还受 X与Y本身度量单位的影响。 例如，kX、kY之间的 统计关系，与X、Y之间的统计关系应该是一样的， 但其协方差却扩大了k2倍，即 相关系数的定义 为避免随便机变量本身度量单位不同而影响它们 相互关系的度量，可将每个随机变量标准化，即 并将Cov(X*,Y*)作为X与Y之间相互关系的一种度量， 相关系数 定义 若随机变量 X，Y的方差和协方差均存在，且D(X)0，D(Y)0，则 称为X与Y 的相关系数. 有时也记 为 说明：X和Y的相关系数又称为标准协方差，它是一个无量纲的量。 D 1 x=y 例2. 设(X, Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y 的相关系数. 解： 相关系数的定义与性质 注: 相关系数刻画了 和 间“线性相关”的程度. 当 时, 与 有严格线性关系; 当 时, 与 无线性关系; 当 时, 的值越接近于1, 与 的线性相关程度越高; 的值越接近于0, 与 的线性相关程度越弱. 当ρ=0时，称X与Y不相关。 不相关与相互独立的关系 X与Y不相关 例2 设 的分布律为 易知 于是 不相关. 即，X，Y 间不存在线性关系。 例2 设 的分布律为 由 知 不是相互独立的. 事实上, 和 具有关系: X，Y间不存在线性关系， Ex. 设 服从 上的均匀分布, 且 判断 与 是否不相关, 是否独立. 解 从而 与 不相关. 但由于 与 满足关系: 所以 与 不独立. 不相关与相互独立的关系 注1) X与Y不相关 2) 相互独立 不相关 二、矩的概念 定义 设X和Y是随机变量，若 存在，称它为 X 的k 阶原点矩，简称 k 阶矩 存在，称它为 X 的 k 阶中心矩 （原点）矩 一阶 k阶 二阶 中心矩 … …