2013年高考数学竞赛专题 三角函数和向量0.docVIP

高中数学竞赛专题讲座——三角函数与平面向量 一、三角函数部分 （一）基础知识 1. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径). 注意：①正弦定理的一些变式：；；；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. (3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. (4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）. 如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。 特别提醒： （1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：； （2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 2.反三角函数： （1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：表示一个角，这个角的正弦值为,且这个角在内。(2)反正弦、反余弦、反正切的取值范围分别是. 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、到的角、与的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？，， ． （二）方向与竞赛真题 例1.(集训试题)在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程=logb(4x-4)的根，则△ABC （ ） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0， 所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A， ∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0， 又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。 例2.(05年浙江)设，，，，上述函数中，周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解： 是以任何正实数为周期的周期函数；不是周期函数。 因为是以为周期的周期函数, 是以为周期的周期函数, 而与之比不是有理数，故不是周期函数。不是周期函数。因为是以为周期的周期函数, 是以为周期的周期函数, 而，故是周期函数.不是周期函数.因此共有2个周期函数. 选 B 例3．(05年浙江)若，则的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D) 解：设 ， 。又由 ，故 。因此有 ，即 由于，所以有 ，即。 选 D 例4． (05全国)内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、、。则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 解：如图，连，则 例5. （04年浙江省预赛）设且 则对任意， . 解： ， 所以， 例6. （06年浙江省预赛）设是非零实数，，若则 。 解： 已知 ……………… （1） 将（1）改写成 。 而 。 所以有 。 即, 也即 将该值记为C。则由（1）知， 。于是有，. 而。 例7.（04 全国）在平面直角坐标系xoy中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是________________。 解：，它的最小正周期为，振幅为。由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为的长方形，故它的面积是。 例8. (05全国)设、、满足，若对于任意则 . 解：设由，知，即 ， 又 只有 另一方面，当有记， 由于三点构成单位圆上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有 即 （三）高考真题训练 1.（05年湖南）已知在中: ， 求A,B,C的大小。 解：由已知得 即 所以，又，所以，从而，由A知，从而.由得,即，亦即,由此得. 故 2.（03年新课程）已知函数0，是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。 解：由f(x)是偶函数，得，即，所以，对任意x都成立，且0，所以得cos=0，依题意，所以。 由的图象关于点对称，得取，得，所以，又 ，所以，又0,得. 所以,当时, ， 在上是减函数;当时， 在上是减