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相关分析和回归模型 第一节 相关分析 第二节 一元回归分析 第三节?多元线性回归分析 第四节? 可线性化的曲线回归 附录：用Excel计算相关系数和进行回归分析 第一节 相关分析 ? 相关分析的主要目的是对现象之间的相关关系的密切程度给出一个数的度量，相关系数和等级相关系数就是测定变量间相关关系的指标。 一、变量相关的概念 ??? 一切客观事物都是相互联系的，而且任一事物的变化都与其周围的其他事物相互联系和相互影响。客观现象之间的相互联系，可以通过一定的数量关系反映出来。现象之间的关系形态有两种类型：函数关系和统计相关关系。 ??? 函数关系是变量之间的一种完全确定的关系，即一个变量的数值完全由另一个（或一组）变量的数值所确定。例如，银行的1年期存款利率为2.25%，设存入本金为 x ，到期的本息为 y ，则 这里 x 与 y表现为一种线性函数关系。微积分学是研究函数关系的数学学科。 图1? 线性函数 ??????????????????? 的图形 　　统计相关关系是变量之间存在的不完全确定性的关系。在实际问题中，许多变量之间的关系并不是完全确定性的，例如居民家庭消费与居民家庭收入这两个变量的关系就不是完全确定的。收入水平相同的家庭，它们的消费额往往不同；消费额相同的家庭，它们的收入也可能不同。对现象之间相关关系密切程度的研究，称为 相关分析。 图2?居民家庭收入与消费支出的数据作出的散点图 二、相关关系的种类 ??? 根据相关所涉及变量的多少，相关关系分为单相关与复相关。两个变量之间的相关关系称为单相关；多个变量之间的相关关系称为复相关。 ??? 根据相关的形式不同，相关关系分为线性相关与非线性相关。如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称为线性相关；如果变量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非线性相关或曲线相关。 ??? 图2中的散点大致分布在一条直线两侧，表明两个变量之间是线性相关；图3中散点的分布大致呈抛物线形状，表明两个变量之间是非线性相关。 图3? 非线性相关 ??? 根据变量相关方向的不同，相关关系分为正相关与负相关。正相关是指两个变量之间的变化方向一致，都是增长或下降趋势，如居民收入增加，居民消费额随之增加，故它们是正相关；负相关是指两个变量变化趋势方向相反，如产品单位成本降低，利润随之增加，故它们是负相关。 　　例如，在例2中给出了10个家庭的月收入和月消费支出的统计数据，它们之间呈正相关趋势；在例3中给出了某企业上半年产品产量和单位成本的统计数据，它们之间呈负相关趋势。 ??? 根据相关程度的不同，相关关系分为不相关、完全相关和不完全相关。如果两个变量彼此的数量变化相互独立，这种关系称为不相关；如果一个变量的数量变化完全由另一个变量的数量变化所唯一确定，这种关系称为完全相关；介于不相关与完全相关之间的关系，称为不完全相关。 图4 不相关 图4中的散点杂乱无章地分布在一个区域中，表明两个变量之间不相关。 三、相关关系的测度 ??? （一）简单相关系数 ??? 相关系数是对变量之间相关关系密切程度的度量，对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数。 ??? 设 是 的 n 组观测值，简单相关系数的计算公式为 （1） （1）式可简化为 （1） （二）相关系数的意义 ??? 相关系数的取值范围是在 -1和 +1之间，即 -1 ≤ r ≤ 1。r＞0为正相关， r＜0 为负相关。 如果 |r|=1 ，则表明两个变量是完全线性相关；r=0，则表明两个变量完全不线性相关，但两个变量之间有可能存在非线性相关。当变量之间非线性相关程度较大时，就可能导致r=0，因此，当r=0时或很小时，应结合散点图作出合理的解释。 ??? 根据经验将相关程度划分为以下几种情况： 当 |r|≥0.8时，视为高度相关； 0.5≤|r|＜0.8时，视为中度相关； 0.3≤|r|＜0.5时，视为低度相关； |r|＜0.3时，说明两个变量之间相关程度极弱，可视为不相关 。 例1 根据某种护发产品1998年在8个地区的销售情况，得到月平均销售收入 y（万元）与月平均广告支出 x（万元）的如下统计资料： 表1 某种护发产品1998年在8个地区销售的统计资料 解