动量定理与 动量矩 定理的应用.docVIP

动量定理和 动量矩 定理的应用 动量定理和动量矩定理的应用2010-04-2112:05质点系的动量定理和动量矩定理相结合，能完整地描述外力系对质点系的作用效果，不但适用于刚体系统，而且也适用于变形固体，流体与松散介质。 例5.14图例5.14图示均质轮可在水平面上滚动，已知轮的质量和半径分别为m，R，摩擦因数为f，在轮高度h处受水平恒力F作用，求轮心加速度与接触处摩擦力。 解圆轮受力与运动分析如图所示，由刚体平面运动微分方程有 假设轮纯滚，则 联立以上4式可求得 可见，时，向左;时，向右;时，纯滚条件是，即 若，则轮既滚又滑，补充方程为 将式(e)与式(a)，(b)，(c)联立，按向前与向后两种情形可分别求出，请读者自行完成。 例5.15如图所示，长为l的均质杆AB，重量为G，从静止于直角墙角且倾角为的初始位置开始运动。若不计摩擦，求在任意角位置时杆的角速度与角加速度。 解当杆端A没离开墙面时，AB杆的速度瞬心在点，，在任意角位置时，有 例5.15图(b) 代入式(b)，并积分得 (舍去正值) 注意在进行微积分运算时，与坐标正方向一致，尽管它们与实际方向相反。这里方程(a)的两边的正负号以及对方程(b)积分运算都运用了这一点。 思考5-19①若采用平面运动微分方程求解例5.15需列几个方程?并求A，B端约束力。②AB杆滑落至何位置时，A端开始离开墙面?③A端离墙后，杆的运动规律如何? 例5.16如图所示，一质量为m，半径为R的均质圆盘水平静止置于光滑的水平面上，一质量为的人静立于盘的边缘，人突然以不变的速率u沿盘的边缘相对运动，试求此后圆盘的角速度与角加速度及其中心O的速度。 解整体在水平方向动量守恒，且质心C不动，建立如图所示Cxy固定坐标系。设在任意t时刻，人在(x，y)处，O点在()处，则有 例5.16图(a) 由质心公式，并注意到，有 由式(a)，(b)得 运动中人与盘心O的连线总是通过质心C，故与O绕C作圆周运动的角速度相同，设为，圆盘角速度为，设逆时针转向为正，则有 又由整体对质心C的动量矩守恒，且，有 将式(e)代入式(d)，得 注意本系统质心位置C不动，但相应于盘上的与C重合的点却是运动的，圆盘并不绕C转动。采用质心坐标，往往简化求解。 思考5-20①例5.16中，若人沿直径为R的圆周相对运动，情形怎样?②若人的运动改变为一个重球沿光滑的圆形轨道相对运动，情形又怎样? 例5.17图例5.17稳定流体的动约束力。如图所示为变截面弯管中的稳定流体(各点处速度不变)。这部分流体受重力G作用，在入口和出口处两横截面上分别受到相邻流体的压力和管壁的约束力主矢的作用，试求流体对管壁引起的附加动约束力的主矢与主矩。 解计算流体段所受动约束力向某定点O简化的结果。先求其动约束力主矢量，考察该质点系动量的变化。设在时间间隔内，流体从截面1和2之间运动至截面和之间，则在内此流体段的动量改变量为 因为是稳定流，故有 考虑到由1至和由2至的质量微团均为(设流体不可压缩)，于是，式(a)可化简为 将(b)式除以，并取极限，得 式中为质量流量。将式(c)代入质点系动量定理，得 若将约束力主矢分为两部分:，其中为与外力G,,相平衡的管壁静约束力，即 则附加动约束力主矢 (5-61) 式中为体积流量，为流体密度。 再求该流体段所受对固定点O的动约束力主矩。由定点O向入、出口处的二个质量微团的质心与分别引位矢，则在内，该稳定流段对定点O的动量矩变化为 将该式除以，并取极限，得 代入中，得 注意到且有 故动约束力矩 (5-62) 式(5-61)连同式(5-62)可完全确定流体段所受动约束外力的简化结果，而流体对管道的动约束力与和等值，反向。若对动约束力分布作出某种假设，便可确定管道的受力分布。 问题5-16①如图(a)，(b)所示，试判断等截面弯道水管段所受动约束力。 答对图(a)，由式(5-61)与(5-62)，得，管道受力与方向相反，大小相等，为(其中，)。合力作用在角点O。 对图(b)，附加动约束力主矢，主矩。 问题5-16图 问题5-17如图所示，流量为，密度为，流速为v的喷射流体在档板上分成图示两股分流，挡板倾角为，不计摩擦及自重，试求支承力及流量。 答考察挡板上的流体段，因不计摩擦，流体分流后速度大小不变，由式(5-61)有 因，故守恒，有 而(b) 由(a)，(b)两式得 问题5-17图思考5-22图 思考5-21问题5-17图中，若挡板以匀速度u沿y方向运动，上述情形将怎样变化?试求之。 思考5-22如图所示，水流以体积流量从喷嘴中喷出。喷嘴通过6个螺栓与管道相连接。今测得管内压力为，水流的密度为，如何求每个螺栓所受的力? 例5.18如图所示，喷嘴BD出口处B的面积为A，入口处D的面积为，流体的密度为，由出口处以v的速度稳定喷