Ch4_1Newton-Cotes求积公式1.pptVIP

第四章数值积分与微分 引言 牛顿柯特斯公式 复化求积公式 龙贝格求积公式 高斯型求积公式 数值微分 4-1-2代数精度的概念 定义1 如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式能准确的成立，但对于m+1次的多项式就不能准确的成立，则称该求积公式具有m次代数精度 求代数精度方法 对于f(x)=1,x,…都准确成立要求 4-1-3插值型求积公式 如果(1.5)式是插值型的，按(1.7)式，对于次数不超过n次的多项式f(x),其余项R[f]等于零，所以此时积分公式至少具有n次代数精度。 4-1-4求积公式的收敛性与稳定性 定理2 若积分公式(1.3)中系数 (k=0,1,2…,n),则此积分公式是稳定的. 4.2牛顿柯特斯公式 称为柯特斯公式（2.4） 4.2.3.几种低阶求积公式的余项 1.梯形公式： 这里积分的核函数(x-a)(x-b)在区间[a,b]上 保号，应用积分中值定理，在[a,b]内存在 一点§使 2.辛普森公式： 辛普森公式余项Rs=I-S为此构造次数不超过3的多项式H(x)使其满足： H(a)=f(a);H(b)=f(b) H(c)=f(c); H’(c)=f’(c) 这里c=(a+b)/2,由于Simpson有三次代数精度 它对于这样构造出的三次式H(x)是准确的即： 因此积分余项为： * * 第四章：数值积分方法 在工程实际问题，常常需要计算定分的值。 数值积分的特点是：利用被积函数在一些点处的函数值， 来推算出满足一定精度的定积分近似值，而且便于算法 实现。 第四章：数值积分方法 在工程实际问题，常常需要计算定分的值。 4-1数值求积的基本思想 实际问题中常常需要计算积分，有些数值方法都需要使用积分方法。 对于积分 只要找到被积函数f(x)的原函数F(x),便有下列牛顿—莱布尼兹公式： 但是实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量被积函数找不到 它的原函数；另外当f(x)给出异常数据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。 积分中值定理告诉我们，在积分区间[a,b]内存在一点 c 成立 就是说，底为b-a而高为法f(c )的矩形面积恰好为所求 曲面面积I.称为中 矩形公式。 如果我们用两端点“高度”f(a)和f(b)作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式称为梯形公式 而改用区间中点d=(a+b)/2的高度f(d)近似代替平均高度f( c),则得到中矩形公式。 更一般地，我们在区间上适当的选取一些点xk,然后用 加权平均高度构造出如下求积公式： 式中xk称为求积节点；Ak称为求积系数；这类方法为机械求积其特点是将问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻找原函数的困难。 (1.3) 给定一组节点 且已知函数在f(x)这些节点上的值作插值函Ln(x) 由于代数多项式的原函数是容易求到的，故我们取 的近似值 作为积分 这样构造出的积分公式 称为是插值型的， 式中求积系数 通过插值基函数 积分求得 （1.5） （1.6） 其余项为 （1.7） 式中 与变量x有关， 反之，如果求积公式(1.5)至少具有n次代数精度,则它必定是插值型的.事实上,这时公式(1.5)对插值型基函数 应该准确成立,即有 注意到 上式右端实际上即等于 因而式(1.6)成立，综上所述得： 定理1 形如(1.5)的求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。 1.梯形公式 对基函数计算定积分得 因为此数值积分公式是用梯形的面积来代替被积函数所对应的曲边梯形的面积。故称这为求定积分近似值的梯形公式。 解释： 2.辛卜生（Simpson）公式 分别对三个基函数计算定积分得 此即为辛卜生公式。因为计算中要用到三个结点的函数值，故又称为三点数值求积公式。它计算定积分的误差为 同理可得 定义2 在求积公式（1.3）中，若 其中 则称求积公式是收敛的。 由于计算 会产生误差 实际得到的是 即 若 只要 足够小就有 表明积分公式(1.3)是稳定的,由此给出 定义3 对任给 ，若 ，只要 就有 (1.8)成立,则称求积公式(1.3)是稳定的。 (1.8) 证明 ：对任 ，给若取 ，对则有 有定义3可知求积公式（1.3）是稳定的，证毕 则有 1）柯特斯系数 设将区间[a，b]分为n等份， 步长