Ch2_5样条插值.ppt

例 给出四个样点(1,1)、(2,3)、(4,4)、(5,2),求其各个子区间上的样条插值函数s(x)(设M0=M3=0),并求f(3) 在［1,2］上的样条插值函数为 思考题 1.代数插值问题的存在唯一性定理如何叙述？ 定理证明所用的主要根据是什么？ 2.拉格朗日插值函数有何特点？ 3.一个n次多项式P(x)的n次拉格朗日插值函数L(x)的插值误差为零，是否可以说任何一个函数的拉格朗日插值函数的插值误差也为零？为什么？ * * 问题：结点增多，多项式次数增高，逼近精度越 好？未必！多结点高次插值往往在局部误 差更大——Runge（龙格）现象。 实用：采用分段低次插值 有分段线性，分段二次插值等，几何意义 三次样条插值简介 1.分段插值法： 缺点：分段插值函数只能保证连续性， 不能保证光滑性。 折线代替曲线 分段插值可以得到整体连续函数，但在连 接点处一般不光滑，而Hermite插值虽然 在连接点处一阶光滑，但整体插值由于结 点多次数高而有可能发生龙格现象。 2.三次样条插值 既想分段插值，又想在结点处保持光滑，甚至二阶光滑——三次样条。 希望： 样条来源 上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放洋等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶导数。 2.7 三次样条插值 早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条用 压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲， 然后画下长条的曲线，称为样条曲线。 样条曲线实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点 即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。 定义: 若函数 且在每一个小区间 上是三次多项式，其中 是给定节点，则称 是节点 上的三次样条函数。 若在节点 上给定函数值 并成立 则称 为三次样条插值函数。 从定义知要求出 ,在每个小区间 上要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应确定4n个参数。根据 在［a,b］上二阶导数连续，在节点 处应满足连续性条件。 共有3n-3个条件，再加上 满足插值条件 ，共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定 。 通常可在区间[a,b]端点 上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。 常见的有以下３种： （1）已知两端的一阶导数值，即： 其特殊情况为 这样确定的样条函数 称为周期样条函数。 （3）当 是以 为周期的周期函数时，则要求 也是周期函数，这时边界条件应满足 （2）两端的二阶导数已知，既 也称为自然边界条件 。 方法1：可以直接利用分段三次埃尔米特插， 只要假定 其中 ， 是由分段三次埃尔米特插值公式表示的插值基函数 、 构造满足插值条件及相应边界条件的三次样条插值函数 的表达式可能有多种方法 再由插值条件 可得　　 下面我们利用 在 区间 上是三次多项式，故 在 对 积分两次并利用 及 ，可定出积分常数，于是得三次样条表达式 的二阶导值 上是线性函数 对（*）式两端连续求两次积分得 其中Ak、Bk为积分常数。根据插值条件 从而解出Ak和Bk,即 为了确定 只需确定未知数 类似可以求出 在区间 上的表达式，从而得 根据三次样条插值条件 于是考虑边界条件： 由一型边界可导出两个方程 若令 那么三次样条方程可写成矩阵形式　 对第二种边界条件直接得端点方程 如果令 也可写成上述矩阵形式 其中 ， 对于第三种边界条件，可得 可以写成矩阵形式 例： 为定义在 在节点 上的函数上的值如下 试求三次样条函数 使它满足边界条件 : 解　：由前已知公式计算如下： 可得书上的 分段表达式 1 　3 4 　 2 y 1 2 ４ ５ x 解 给定样点的函数表为 在［2,4］上的样条插值函数为 在［4,5］上的样条插值函数为 2.7.3误差界与收敛性 对第一或第二种边界条件的 的三次样条函数 有以下估计式成立： 上述定理还给出了 当