转本高数第三章第五节 函数的极值及最值.pptVIP

将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 求导得 设小正方形的边长为x， 则方盒的容积为 例9 解 * 一、函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与最值 * 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大. * 定理1(极值的必要条件) 由费马引理可知， 所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。 但反之不然，驻点不一定是极值点. x y O * 此外, 不可导点也可能是极值点, x y O 函数的不可导点也不一定是极值点， x y O * 这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一. 我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点. 下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点. * 定理2(极值的第一充分条件) 一阶导数变号法 * 定理3(极值的第二充分判别法) 称为“二阶导数非零法” (1)记忆:几何直观； 说明： (2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点； * 例1 解法一 列表讨论 极大值 极小值 * 例1 解法二 * 例2 解 * 例3 解 * 例4 解 列表讨论 极大值 极小值 * 例5 解 注意定义域！ 导数左负右正， * 例6 解 两边关于x求导,得 对(1)式再求导，得 * 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 例7 解 x y o (A)?? 一个极小值点和两个极大值点. (B)?? 两个极小值点和一个极大值点. (C)?? 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. * (1) 确定函数的定义域； (4) 用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形. 求极值的步骤: (3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)； * 二、函数的最值 极值是局部性的,而最值是全局性的. * 具体求法： * 例8 解 计算 比较得 * 在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法： * 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 设小正方形的边长为x， 则方盒的容积为 例9 解 a x a-2x *