概率论和数理统计—概率论部分.docx

第一章概率论的基本概念§1.2 概率的定义一、概率的性质（1）.（2），.（3）.（4）.（5）.特别地，若，，.例设为随机事件, ，则解：§1.4 条件概率一、条件概率定义设是两个事件，且，称=为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。二、全概率公式全概率公式：为样本空间的一个事件组，且满足：（1）互不相容，且;(2) .则对中的任意一个事件都有例设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？解以、、表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以表示事件“取得的产品为正品”，于是：按全概率公式，有：三、贝叶斯公式设是样本空间的一个事件，为的一个事件组，且满足：（1）互不相容，且;(2) .则这个公式称为贝叶斯公式。例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若已知取得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少？解：设A1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则A1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球，设A2：表示从乙袋取的一球是红球，则.§1.5 事件的独立性一、事件的独立性定义.若两事件，满足,则称，相互独立。第二章随机变量及其分布§2.1 一维随机变量一、随机变量与分布函数定义设为一随机试验,为的样本空间,若,为单值实函数，则称为随机变量。定义设为一个随机变量，为任意实数，称函数为的分布函数。分布函数的性质（1） .（2）是自变量的非降函数，即当时，必有.因为当时有，从而.（3）对自变量右连续，即对任意实数，§2.2一维离散型随机变量一、离散型随机变量定义离散型随机变量只可能取有限个或可列个值，设可能取的值为.定义设离散型随机变量可能取的值为，且取这些值的概率为： (则称上述一系列等式为随机变量的分布律。由概率的定义知，离散型随机变量的概率分布具有以下两个性质：（1）（非负性）（2）（归一性）二、几种常用的离散型分布1. 0—1分布如果随机变量只可能取0和1两个值，且它的分布列为，则称服从0—1分布。其分布律为：1 0 1-2.二项分布如果随机变量只可能取的值为0,1,2,…,n，它的分布律为 ,(其中，则称服从参数为的二项分布，记为3.泊松分布如果随机变量所有可能取的值为0,1,2,…,它取各个值的概率为，其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，记为.例：设，则例：设随机变量，则.§2.3 连续型随机变量的概率密度一、概率密度的概念定义设随机变量的的分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对于任意实数，有：则称为连续型随机变量，而称为的概率密度。由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度必须满足：（1）0 ；（2）；（3）对于任意实数，且有；（4）若在点处连续，则有.例设随机变量X具有概率密度（1）试确定常数；（2）求；（3）求.解（1）由，即=得.于是的概率密度；（2）=;（3）由定义=。当时，=0；当时，==所以.二、几个常用的连续型随机变量的分布1. 均匀分布如果随机变量的概率密度为则称服从上的均匀分布，记为。2. 指数分布如果随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布。3. 正态分布如果随机变量的概率密度为；其中为常数，则称服从参数为的正态分布，记为.特别的，当时，称服从标准正态分布，即，概率密度为标准正态分布的分布函数为对于标准正态分布的分布函数，有下列等式定理如果则推论如，则例设，求；解=.例设随机变量，则.§2.4随机变量函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布例设的分布律为X0.10.20.30.4求的分布律。解因为的可能取值为，而且，，，因而,的分布律为Y0.10.20.30.4二、连续型随机变量的函数的分布设是连续型随机变量，已知为其概率密度，那么应当如何确定随机变量的概率密度呢？例设连续型随机变量具有概率密度，求随机变量（其中为常数且）的概率密度.解设的分布函数为，当，则上式两边对求导数得当，则上式两边对ｙ求导数得于是二维随机变量及其分布§3.1二维随机变量及分布函数定义设为随机试验的样本空间，,是定义在上的随机变量，则称有序数组为二维随机变量或称为二维随机向量。定义设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数，或称为的联合分布函数。二维随机变量的分布函数的性质（1）；（2）是变量的不减函数，即：对于任意固定的，当时有；对于任意固定的，当时有.（3）对于任意固定的，；对于任意固定的，,并且，.二维离散型随机变量定义如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个，则称为二维离散型随机变量。定义设二维随机变量所有可能取的值为，