概率论和数理统计-13-超几何分布.pdf

概率论与数理统计 第13讲超几何分布 张宏浩 超几何分布 （hypergeometric distribution ） 如果随机变量X 的分布律为 k nk C C   M N M    P X k k 0，1，，min M ，n C n N 其中N ，M ，n 均为自然数．   则称随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 练习1 请验证超几何分布的归一化成立： 练习1解答 这个组合恒等式的证明见下页 练习1解答（续） 的证明： 练习2 已知超几何分布的分布律是 求它的期望与方差。 练习2解答 期望 Proof: 这里用到了组合恒等式： Proof: 练习2解答（续） 方差 Proof: 在Mathematica软件的HypergeometricDistribution函数的帮助文档的 •n_tot 就是我们前面定义的N， •n_succ 是我们前面定义的M。 超几何分布的概率背景 一批产品有N 件，其中有M 件次品，其余N-M 件 为正品．现从中取出n 件． 令： X ：取出n 件产品中的次品数． 则X 的分 布律为 k nk C C   M N M    P X k k 0，1，，min M ，n C n N   此时，随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何 分布 练习3 设某个公司的某次联欢会举办了一次抓球抽奖游戏， 在一个布袋里装有30个小球，其中红球10个，黑球20个，这 些小球除了颜色之外完全相同。 游戏规则是：每人从袋中连续抓出5个球，  如果其中有5个红球，则得一等奖；  如果其中有4个红球，则得二等奖；  如果其中有3个红球，则得三等奖。 （每个人抽奖之后再将球放回袋中让其他人继续抽奖。） 请问一、二、三等奖的中奖概率分别是多少？ 总中奖概率又是多少？ 练习3解答 将在抓出的五个小球中的红球数目记为X ，则X服从超几何分布， 参数N=30, M=10, n=20. 练习4 参数为N, M, n 的超几何分布X 的分布律还可以有另一种等价的表达式， 请证明下面的第二个等号成立： 练习4解答 的证明： 分布的逼近 二项式分布是超几何分布的逼近 Ck Cnk k k nk 若lim M p ,则lim M N M C p (1p ) 。 N n