自动控制原理,自学必备。第4章课件.pptVIP

第四章 根轨迹分析 教学要求： 基本内容：根轨迹的概念；根轨迹图的绘制；利用根轨迹进行控制系统参数设计； 基本要求：熟练掌握根轨迹图的绘制及控制器设计方法 4.1 根轨迹的概念 根轨迹法：通过“开环系统”的零、极点分布来研究“闭环系统”的极点分布。 (2) n = 2 ，根轨迹有2条分支； (3) K = 0时 ，根轨迹起始于p1 ， p2 K ? ? 时，根轨迹一条终止于z1 ，另一条趋于无穷远处； (4) 实轴上的根轨迹区段： (-a, 0)，(-?, -b) (5) 渐近线： 因为 n – m = 1 所以 (6) 分离点坐标sd： 由公式 所以 求得两个分离点坐标分别为 证明：两分离点之间的根轨迹为圆 由于根轨迹上任一点都满足闭环特征方程，设根轨迹复数部分任一点 s = ? + j? ，代入特征方程中 展开，整理，令 整理得到， 显然这是以 ?, ? 为变量的圆的方程，其圆心坐标为(-b，0)，半径为 将K代入整理，得到 从例题中可以发现：由两个极点(实数极点或复数极点)和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从零变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心到分离点的距离为半径的圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。 开环零极点变化时的根轨迹 根轨迹的形状与开环零极点的分布密切相关。 一、增加开环极点的影响 改变了根轨迹在实轴上的分布； 改变渐近线的条数，方向角及与实轴的交点； 一般使根轨迹向右偏移，不利于系统的稳定性和动态特性。 例如： 二、增加开环零点的影响 例如： 增加开环零点可以使根轨迹左移，有利于改善系统的稳定性和动态特性。 4.3 利用根轨迹分析系统的动态性能 设n 阶系统的闭环传递函数可写为 一、闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系 设输入为单位阶跃信号，r(t)=1(t)，则 R(s)=1/s 代入上式得 如果?(s)无重极点,可将上式分解为部分分式 式中 经拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应 看出：系统的阶跃响应将由闭环极点sk及系数Ak决定，而系数Ak也与闭环零、极点分布有关。 一个控制系统总是希望它的输出量尽可能地复现给定的输入量，要求动态过程的快速性、平稳性要好一些。 1. 要求系统稳定，则必须所有的闭环极点si位于s平面的左半平面。 2. 要求系统快速性好，应使阶跃响应式中的每个分量eskt衰减得快，则闭环极点应远离虚轴。要求平稳性好，则复数极点最好设置在s平面中与负实轴成± 45o夹角线的附近。 二、主导极点与偶极子 3. 要求动态过程尽快消失，要求系数Ak要小， 因为Ak小，对应的暂态分量小。 故应使分母大，分子小。从而看出：闭环极点之间的距离(sk-si)要大；零点zi应靠近极点sk。 一阶系统 闭环特征方程为 Ts+1=0 闭环特征根为实根，s1=-1/T，位于s平面的左半平面。 系统的阶跃响应式为 快速性指标 可以看出：为提高系统的快速性，减小调节时间，应使时间常数T小一些，及特征根的绝对值 大一些，即s1远离虚轴。 二阶系统 在欠阻尼情况下，闭环特征根为负根 位于s平面的左侧。 可以看出：为提高快速性，应加大??n ，即特征根的实部绝对值要大一些，即s1,2远离虚轴。 闭环特征方程为 快速性指标 偶极子：如果一个闭环极点和零点在复平面上的位置很接近，则常成为一个偶极子。 工程上，某零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。 例如： 如果开环零、极点的数目满足n-m? 2，则闭环特征方程为 当m = 0，即没有开环零点时，上式左端最后一项应为 由此得到，系统闭环极点之和为 即 闭环极点之和等于开环极点之和。 系统闭环极点之积为 或 [教材P126]例4-2 单位负反馈系统的开环传递函数为 试绘出K*由0??变动的根轨迹。 解： (1) 系统开环极点： p1=0, p2,3=-0.5?j1, p4=-2.5 系统开环零点：z1=-1.5, z2,3=-2 ? j (2) 实轴上(-1.5, 0)，(-?, -2.5)为根轨迹段。 (3) 渐近线：由n-m=1可知，有一条根轨迹趋于无穷远处。 (4) 起始角与终止角： 同理，开环极点p3处的起始角： 开环零点z2处的终止角： 同理，开环零点z3处的终止角： 例 负反馈系统的开环传递函数 试作K(由0??)变动的系统闭环根轨迹。 解： 开环极点：p1=0，p2= -