矩阵论课件线性空间.docVIP

第一讲 线性空间 线性空间的?定义及性质? [知识预备] ★集合：笼统的说是?指一些事物?（或者对象）组成 的整体 集合的表示?：枚举、表达式 集合的运算?：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格?意义上集合?的运算，因为它限定?了集合中元?素须有可加?性。 ★数域：一种数集，对四则运算?封闭（除数不为零?）。比如有理数?域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复?数域是工程?上较常用的?两个数域。 线性空间是?线性代数最?基本的概念?之一，也是学习现?代矩阵论的?重要基础。线性空间的?概念是某类?事物从量的?方面的一个?抽象。 线性空间的?定义： 设是一个非?空集合，其元素用等?表示；是一个数域?，其元素用等?表示。如果满足[如下8条性?质，分两类] （I）在中定义一?个“加法”运算，即当时，有唯一的和?（封闭性），且加法运算?满足下列性?质 （1）结合律 ； （2）交换律 ； （3）零元律 存在零元素?o，使o； （4）负元律 对于任一元?素，存在一元素?，使o，且称为的负?元素，记为（）。则有 o。 （II）在中定义一?个“数乘”运算，即当，时，有唯一的（封闭性），且数乘运算?满足下列性?质 （5）数因子分配?律 ； （6）分配律 ； （7）结合律 ； （8）恒等律 ； [数域中一定?有1] 则称为数域?上的线性空?间。 注意：1）线性空间不?能离开某一?数域来定义?，因为同一个?集合，如果数域不?同，该集合构成?的线性空间?也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域中的运?算是具体的?四则运算，而中所定义?的加法运算?和数乘运算?则可以十分?抽象。 （3）除了两种运?算和八条性?质外，还应注意唯?一性、封闭性。唯一性一般?较显然，封闭性还需?要证明，出现不封闭?的情况：集合小、运算本身就?不满足。 当数域为实?数域时，就称为实线?性空间；为复数域，就称为复线?性空间。 设＝{全体正实数?}，其“加法”及“数乘”运算定义为? xy=xy , 证明：是实数域R?上的线性空?间。 [证明] 首先需要证?明两种运算?的唯一性和?封闭性 ①唯一性和封?闭性 唯一性显然? 若x0,y0, ，则有 xy=xy 封闭性得证?。 ②八条性质 （1）x（yz）=x(yz)=(xy)z=(xy)z （2） xy=xy＝yx= yx （3） 1是零元素? x1＝ [xo=x——xo=x－o=1] （4） 是x的负元?素 x＝ [x+y=o ] （5） （xy）xy [数因子分配?律] （6） （x）（x） [分配律] （7） [结合律] （8） [恒等律] 由此可证，是实数域R?上的线性空?间。 定理：线性空间具?有如下性质? 零元素是唯?一的，任一元素的?负元素也是?唯一的。 如下恒等式?成立： o， 。 [证明]（1）采用反证法?： ①零元素是唯?一的。 设存在两个?零元素o1?和o2，则由于o1?和o2 均为零元素?， 按零元律有? [交换律] o1＋o2＝o1 ＝ o2＋o1＝o2 所以 o1＝o2 即 o1和o2? 相同，与假设相矛?盾，故只有一个?零元素。 ②任一元素的?负元素也是?唯一的。假设，存在两个负?元素和，则根据负元?律有 o＝ [零元律] [结合律] [零元律] 即和相同，故负元素唯?一。 （2） ①：设w=0x，则 x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故 w=o。 [恒等律] ②：设w=(－1)x，则x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o，故w=－x。 线性相关性? 线性空间中?相关性概念?与线性代数?中向量组线?性相关性概?念类似。 ?线性组合： 称为元素组?的一个线性?组合。 ?线性表示：中某个元素?x可表示为?其中某个元?素组的线性?组合，则称x可由?该元素组线?性表示。 ?线性相关性?：如果存在一?组不全为零?的数，使得对于元?素有 则称元素组?线性相关，否则称其线?性无关。线性相关性?概