狄尼定理的证明（精选篇）.docVIP

狄尼定理的证明（精选7篇） 以下是网友分享的关于狄尼定理的证明的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。 [狄尼定理的证明篇一] 为证明定理本身，我先证明几个引理。 引理1(Bessel不等式)：若函数f(x)在[??,?]上可积，则有 a02?1 ??(an2?bn2)??f2(x)dx 2n?1??? a02m 证明：设Sm(x)???(ancosnx?bnsinnx) 2n?1 ? ? 2 ? ? 2 ? 显然：?[f(x)?Sm(x)]dx? ?? ? ??f (x)dx?2?f(x)Sm(x)dx? ?? ? ??S n 2m (x)dx (*) a 其中，?f(x)Sm(x)dx?0 2?? ?? ? ??f(x)dx??(a??f(x)cosnxdx?b??f(x)sinnxdx) n n?1 ? ? m ?? ? 由傅立叶级数系数公式可以知道： ? ? ?? 2 ? f(x)Sm(x)dx? ? 2 a0???(an2?bn2) 2 n?1 m m a02m?2222 S(x)dx?[?(acosnx?bsinnx)]dx?a??(a?b) ??mnn0nn??2n?12n?1???? 以上各式代入(*)式，可以得到： ? ? 2 0? ?? ?[f(x)?Sm(x)]dx? 另 ?? ? f(x)dx? ? 2 2 ? 2 a0???(an2?bn2) 2 n?1 m ? 2 a0???(an?bn)? 2 2 n?1 m ?? ? f2(x)dx 这个结果对于?m?N均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据此可知“ ? 2 a0???(an2?bn2)”这个级数的部分和有界，则引理1成立。 2 n?1 m 引理2：若函数f(x)是T?2?的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级数部分和 Sm(x)可改写为：Sm(x)? 1 ? ? ?? ? 1 sin(m?)u du f(x?u) 2sin 2 a02m 证明：设Sm(x)???(ancosnx?bnsinnx) 2n?1 ???11m?f(x)dx??[(?f(x)cosnxdx)cosnx?(?f(x)sinnxdx)sinnx] ?2????n?1?????1 ? ? ?? ? 1111 f(u)[??cosn(u?x)]du?f(x?t)[?cosnt]dt??2n?1?????x2n?1???? m ??x m ? 1 sin(m?)u duf(x?u) u2sin 2 我在下边给出一个比楼主强的结论！ 收敛定理：设f(x)是[a,b]的按段光滑函数,如果它满足: (1) 在[a,b]只有有限个第一类间断点, 在补充定义后它可积（应当指出：补充定 义后，它已不是原来的函数）。 (2) 在[a,b]每一点都有f(x?0)，且定义补充定义后的函数为f1(x)有： f(x?u)?f(x?0)f(x?u)?f(x?0) ?f1(x?0)，lim?f1(x?0) ? u?0u?0uu f(x?0)?f(x?0) 则f(x)的傅立叶级数在点x收敛于这一点的算术平均值，若 2lim? 在x连续，则收敛于f(x)。 为方便，我仅证明f(x)是T?2?的在[??,?]上的按段光滑函数(上述命题在此基础上稍加变换即可)，则当x?[??,?]时有(其中an,bn是傅立叶级数系数) f(x?0)?f(x?0)a0? ???(ancosnx?bnsinnx) 22n?1 1 证明：由引理1容易可知：lim?f(x)sin(n?xdx?0 (**) n??20 f(x?0)?f(x?0) ?Sm(x)]?0成立，则命题得证，而若lim[ n??2 1 ?sin(m?)u f(x?0)?f(x?0)f(x?0)f(x?0)1du]lim[?Sm(x)]?lim[???f(x?u)n??n??u222??? 2sin 2 1 ?sin(m?)u1du?1，注意这个式子是偶函数，则另外，? ???2sin211 ?sin(m?)u?sin(m?)u f(x?0)du?f(x?0) ??u2???2sinu?02sin 22 1 ?sin(m?)u1=0，则命题得证。 若lim?[f(x?0)?f(x?u)]n???u02sin 2u f(x?0)?f(x?u)记g(u)? uusin2 u f(x?0)?f(x?u)有微积分知识limg(u)???f1(x?0)，若g(0)??f1(x?0) u?0?uusin 2 ? 则它在0连续，由于第一类间断点只有有限个，则它在[0,?]上可积。结合(**) ? 1 sin(m?)u 1?0 式可知lim?[f(x?0)?f(x?u)]n???u02sin 2 1 0sin(m?)u1?0 同理可以证明lim[f(