工程流体力学的讲义.ppt

§6-4 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 一、复位势与流函数、势函数间的对应关系 流函数与势函数的关系 这正是柯西-黎曼条件。复变函数的理论， 和 可以组成以复变量 为自变量的一个复变函数。 它的导数为 被称为流动的复位势，实部为势函数，虚部为流函数。 被称为复速度，实部为速度在x方向的分量，虚部为速度在y方向的分量的相反数。 二、复位势的性质 1. 两点的复位势之差是复势，其实部是两点连线上的速度环量，虚部是通过两点连线的流量。 2. 复位势允许加任一复常数而不改变所代表的流动。 3. 两个不可压缩流体的平面无旋流动的叠加，仍然为平面无旋流，其复势为原两个复势之和。 三、势流叠加原理 势函数 速度 §5 基本的平面有势流动 势流叠加原理: 由于φ函数和ψ函数都是调和函数，由调和函数的性质可知，调和函数的线性组合仍是调和函数，故可用 来描述一个新的有势流动 即φ函数和ψ函数可叠加，叠加后仍是无旋流。 一、均匀直线流动 平行流有几种情况：如图 x y y x v u α x y Φ＝c Ψ=c 讨论一般情况： 1、速度场 可分解成 2、φ与ψ 由 积分有: 3、求流线 同理: 令 有 解得: 流线是斜线 斜率是 点z相同，有 即全流场压力为常数 如α＝0，流线平行与x轴, 如α＝90°流线平行与y轴， 4、压力分布 平行流中各点速度相等，任取两点写伯努利方程，都有 在水平面上，各 二、平面点源和点汇 点源：单位时间内通过一半径为 的圆周流出流量 当 时保持Q不变，则这种流动称为点源流（若流入，称点汇），Q称为点源（汇）强度。 1.点源的速度场 由 与r 成反比。 为源， 为汇。 只有径向流动 2.点源势函数φ和流函数ψ 由 0 积分 当φ＝const，即 r=const，等势线为一族同心圆。当 ， 故源点是奇点，不讨论。 流函数ψ 由 0 积分 ψ＝const 为流线，即θ=const，流线是半射线。等φ线与等ψ线正交。 3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程 将 ， 代入 有 P与r成抛物线正比。r p ; r p r0 r p 三、点涡 点涡：无限长的直线涡束所形成的平面流动。除涡线本身有旋外涡线外的流体绕涡线做等速圆周运动且无旋。 这种流动也称纯环流。若设点涡的强度为 则在半径r处由点涡所诱导的速度为 而 1.速度分布： 因为由环量定义 2.势函数φ流函数ψ： 积分 令φ＝const，即θ＝ const，等势线是半射线。 0 同理可求ψ： 积分 令ψ＝const 为流线，即r＝ const ，流线是圆周线。如图示。 3.压力分布 0 此种流动是复合涡的情况，单独讨论。 四：二元涡 所谓二元涡就是前面讨论的强迫涡加自由涡，也即复合涡的问题。 r r0 ω 强制涡 复合涡 自由涡 1.速度分布 前面已讨论过涡核内外的速度分布： 与半径成正比如图。由于 这部分流体有旋。 与半径r成反比。 涡内： 涡外： 在 时 当 不变 处的 为常数 2、压力分布： 自由涡：由于是无旋流动，在自由涡中任取一点与无穷远处写伯努利方程： 忽略位能 若 则 将 代入 在自由涡中 p与r 成平方关系,(抛物线） 越靠近涡核，压力越小，当 时 涡核边缘处与无穷远处的压力差为 涡核内的压力分布 涡核内是有旋的，能量方程只对流线成立，故只能从原始的运动方程入手导出压力分布，其结论为： 将 代入 即在涡核内压力分布也是抛物线 此式即为有限大单连域 stokes 定理。 即： 此定理也可用于复连域： L1 L2 A Stokes law 说明，速度环量Γ不仅可以决定漩涡的存在，还可衡量封闭周线所围区域中全部漩涡的总涡强。环量为零，即总涡强为零；环量不为零必然存在漩涡。反之，无旋，环量为零。 问题：沿封闭周线L的环量Γ为零，是否在所围面积内流体各处都处于无旋状态？ 答：否 只有在区域内任一条封闭曲线上的速度环量皆为零，则区域内的旋涡强度必为零，流动为无旋运动。 例1：证明平行流的环量为零。 流体以定常速度 水平运动，在流场中任取一封闭周线1234，求 若封闭周线取为圆Γ＝？ 1 2 3 4