扩展有限元法究综述-毕业论文.docVIP

毕 业 设 计（论文） 题目 扩展有限元法研究综述 学院（全称） 土木建筑学院 专业、年级 工程力学 2005级 学生姓名 赵松华 学 号 指导教师 郑佳艳 前 言 俗话说：“千里之堤溃于蚁穴”，棋盘上虽然一个很小的失误便会全盘皆输。下棋如此，生活如此，工程上亦如此。 工程中往往都存在大量不连续问题，比如裂纹、杂质和孔隙。一般而言不连续部位对整个结构或破坏起控制作用，而同时这些问题又是不可避免，难以计算和监控，且时刻存在的。 由于各个数值方法分析裂纹扩展的局限性限制了它们的实际应用，不得不寻求新的解决裂纹扩展问题的途径。从通用性和理论基础成熟性角度而言，有限单元法是最好的数值方法。有限元法的运用的确在一些实际的工程问题中起到了很大的作用，为我们的设计 、计算和监控工程实际带来了很大的方便。但它对工程中大量存在的裂纹，杂质，孔隙和复杂流体等不连续问题的处理却不尽人意。传统的有限元分析静态裂纹问题的缺点主要是数据准备复杂，分析动态裂纹问题能力不强，若能够改进传统的有限元，让有限元的形函数既能满足常规部分的连续性又能反映裂纹部分的不连续性，则有限元就具有较强的处理裂纹问题的能力。 处理像裂纹这样的不连续问题时，需要将裂纹面设置为单元的边、裂尖设置为单元的结点、在裂尖附近不连续体的奇异场内需进行高密度网格划分以及在模拟裂纹扩展时需要不断的进行网格的重新划分，使得有限元程序设计相当复杂，且效率极低。在处理多裂纹问题时，其求解规模之大、网格剖分之难是不可想象的。1999年以来，在有限元框架内发展起来的扩展有限元法XFEM，以解决不连续问题为着眼点，对常规有限元在求解裂纹问题时所遇到的困难提出了近乎完美的解决方案。扩展有限元是迄今为止求解不连续力学问题最有效的数值方法，它在标准有限元框架内研究问题，在单位分解的基础上保留了传统有限元的所有优点，且不需要对结构内存在的几何或者物理界面进行网格剖分。为了解决这个问题，且同时充分利用有限元的优化模型和计算方法，我们在传统有限元的基础上引入扩展有限元。 目 录 前 言 II 目 录 III 摘 要 I ABSTRACT II 第1章 绪 论 1 1.1 研究背景和意义 1 1.1.1 扩展有限元基础—有限元 1 1.1.2 课题研究的现状 2 1.2 研究的目的和意义 3 1.3 主要研究内容 4 1.4 扩展有限元发展趋势 4 第2章 有限元基本理论 5 2.1 有限元法概述 5 2.2 平面桁架单元分析步骤 8 2.2.1 整体坐标系 9 2.2.2 位移 9 2.2.3 应变 10 2.2.4 单元节点位移向量 10 2.2.5 应变位移矩阵 10 2.2.6 应力 11 2.2.7 虚位移 11 2.2.8 单元节点力向量 11 2.2.9 虚功 11 2.2.10 虚应变 11 2.2.11 虚变形能 12 2.2.12 单元刚度矩阵 12 2.2.13 变体虚功原理 12 2.2.14 单元平衡方程 13 2.2.15 单元刚度矩阵性质 13 2.3 平面桁架实例分析 14 2.3.1 单元1 14 2.3.2 单元2 15 2.3.3 单元 3 16 2.3.4 单元 4 16 2.3.5 单元 5 17 2.3.6 节点受力分析 18 2.3.7 方程组装 19 2.3.8 整体刚度矩阵特点 19 2.3.9 位移边界约束 20 2.3.10 求解方程 20 第3章 扩展有限元基本理论分析 21 3.1 单位分解法（PUM） 21 3.2 不连续位移场的建立 22 3.2.1 裂纹贯穿单元位移模式 23 3.2.2 裂纹尖端所在单元的改进 24 3.2.3 含任一裂纹的位移场： 25 3.3 离散方程的建立 26 3.3.1 虚功方程 26 3.3.2 支配方程 26 3.3.3 形函数偏导 28 3.4 水平集法（LSM） 30 3.4.1基本概念 30 3.4.2水平集对裂纹的描述 30 3.5 积分方案 31 3.6 扩展有限元法应用 32 第5章 结论及展望 35 5.1 结论 35 5.2 展望 35 5.2.1 XFEM 自身的研究 35 5.2.2 XFEM 在非均匀介质中的应用 36 5.2.3 XFEM 在非线性固体力学问题中的应用 36 5.2.3 XFEM 在其他问题中的应用 36 致 谢 37 主要参考文献 38 摘 要 随着人类的进步，科技的发