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2012届本科毕业论文 浅谈“Euler定理”在初等数论 中的应用 学 院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学08-4班 学生姓名： 指导教师： 答辩日期：2012年5月7日 新疆师范大学教务处 目 录 一、 前言 1 二、 预备内容 1 2.1 同余的定义及其性质 1 2.2 剩余类及完全剩余系 2 2.3 简化剩余系 3 2.4欧拉函数.................................................... 3 三、 欧拉定理的实际应用 4 3.1 欧拉定理的内容和证明 4 3.2 欧拉定理在实际生活中的应用 4 四、 总结 7 参考文献 8 致谢 9 浅谈“Euler定理”在初等数论中的应用 摘要 此文章中主要谈的是“Euler定理”及其应用.我把论文分为四大部分，分别前言，预备内容，欧拉定理的实际应用和总结。在前言部分介绍了“Euler定理”的来源，被谁在哪里发表的，还有研究了那些有关内容。在预备段又介绍了一些与“Euler定理”有关的内容.同余的概念及其有关性质，剩余类和完全剩余系的定义和定理，还有简化剩余系与欧拉函数的定义和定理，利用有关的内容证明了“Euler定理”.然后又附加了欧拉定理的推论及其证明过程，在欧拉定理的实际应用阶段举了一些有关上内容的例题给出了“Euler定理”在初等数论中的一个的应用. 关键词 模；同余；剩余类；完全剩余类；简化剩余系；欧拉函数；欧拉定理；费马定理. 浅谈“Euler定理”在初等数论中的应用 前言 欧拉（Euler ,1707.4.15-1783.9.18）瑞士数学家及自然科学家在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育 13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位 欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金 1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作 并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利 ，成为物理学教授在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题1735 年，他因工作过度以致右眼失明在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其它数学领域均有开创性的发现 1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡在 1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作 他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的 最后一刻 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域 此外，他 是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770） 都成为数学中的经典著作，把它叫做模.如果用m除任意两个整数与所得的余数相同，我们就说对模同余，记作如果余数不同，我们就说对模不同余，记作. 由定义立刻得到下列性质： 甲 乙 若，则. 丙 若，，则. 丁 ⑴ 若，，则 . ⑵ 若，则. 戊 若，，则 . 特别的，若，则. 己 ，且，，，则 . 庚 ⑴ 若， ，则. ⑵ ，是及的任一正公因数，则 . 辛 ，则 . 壬 若，，，则. 若 ，则，因而若能整除，则必能整除. 定理2.1.1 整数对模同余的充分且必要条件是,即，是整数. 2.2 剩余类及完全剩余系 定理2.2.1 若是给定的正整数,则全部整数可分成个集合，记作其中是由一切形如的整数所组成的，这些集合具有下列性质： ⑴ 每个整数比包含在而且仅在上述的一个集合里面. ⑵ 两个整数同在一个集合的充分且必要条件是这两个整数对模同余。 推论 个整数作成模的一个完全剩余系的充分且必要条件是两两对模不同余。 定理2.2.2 设是正整数，是任一整数，若通过模的一个完全剩余系，则也通过模