到Bloch空间上的合算子积分算子的乘积毕业论文外文翻译.docVIP

湖州师范学院理学院 本科毕业设计（论文）外文翻译 外文译文题目（中文） : 姓名: 系别: 数学系 专业: 数学与应用数学 班级: 学号: 指导教师: 毕业设计（论文）——外文翻译（原文） 作者:出版单位或期刊:出版日期（期刊号）:2008,53（5） 起止页码:4-54 毕业设计（论文）——外文翻译（译文） 到Bloch空间上的复合算子积分算子的摘要:研究从和Bloch空间上的复合算子积分算子乘积在开圆盘上有界性和紧性. 关键词: 复合算子, Bloch空间, 有界函数, 积分算子 一、引 言 设是复平面上的单位开圆盘. 是上全纯函数的全体. 把为上有界全纯函数全体. 上的全纯函数属于Bloch空间, 若. 在范数下, 是一个Bloch空间. 设是的子空间, 其中满足当时,, 这个空间小Bloch空间. 设是一个全纯自映射, 定义在上的复合算子, 其中是上的全纯函数. 这个复合算子在很多空间已被专家研究过. 设, 对, 定义积分算子. 另一个积分算子. 算子和的重要性主要来自. 是乘法算子, 且 . 在文献中Pommerenke介绍了算子, 并证明有界当且仅当. 对于算子和和n维, 可见和相关参考. 和Bloch空间的加权复合算子在文献中已有研究. 本文考虑复合算子和积分算子的乘积, 定义 , （1） , （2） 本文将研究从和Bloch空间的算子的有界性和紧性. 这是第一篇研究有关复合算子和积分算子的乘积的文章. 文中表示与函数无关的正常数, 每次出现未必同一.表式意味着. 2、从到上的有界性和紧性 在这部分中, 我们研究在和（或）的有界性和紧性. 为了证明这些主要结果, 我们需要一些辅助结果, 具体表现在下面的引理中. 第一个见文献或. 引理1 中的一个闭集K是紧的当且仅当它有界并且满足 .第二个引理在例中已被证明. 引理2设是单位圆盘上的全纯自映射,.算子（或）:是紧的当且仅当（或）:有界的,并且对任意上的有界序列在的紧子集中一致收敛于0,在上（或）,当. 定理1 设是单位圆盘上的全纯自映射, 并且, 则有界当且当 . （3） 证明:设（3）成立, 由（1）得因为,则 . （4） , 有, 我们得到最后一个不等式. 另一方面, . （5） 是有限的因为集合在上是紧的. 综合（4）,（5）和（3）算子是有界的. 反, 设是有界的, 则存在常数C使得. 令, 则 （6） 若, 设, 易知, 并且,. 因此. 如果, 则 （7） 如果, 则（6）得 . （8） 综合（7）,（8）和（3）得证.定理2 设是单位圆盘上的全纯自映射, 并且, 则是紧的当且仅当, （9） 且 . （10） 证明: 若（9）,（10）成立, 易知（3）成立. 因此有界（10）,存在,使得, . 设是上的一个序列, , 并且当时,在D的紧子集上一致收敛于0. 令, 则 . （11） 其中. 因为当时,在D的紧子集上一致收敛于0, 由柯西估计得当时,在D的紧子集上一致收敛于0, 特别地在紧集. 因此在（11）中令,的任意, . 结合引理2知是紧的. 反之, 设是紧的.令, 则（9）成立下证（10）成立. 令是D上的一个序列, 并且当时, . （12） 则,在D的紧子集上一致收敛于0, 当. 由的紧性,得, 类似于定理1的证明, 有 则 由此（10）成立.定理3 设是单位圆盘上的全纯自映射, 并且, 则有界当且仅当 . （13） 证明: 充分性由定理1, 我们知道有界. , 有 . 结合（3）知, ,则. 因此有界. 必要性设有界, 则令, 有. 若, 则当. 因此,设.假设相反的,存在正