高考数学课件-课时跟踪检测(七十六)　坐标系.doc

课时跟踪检测(七十六)　坐标系 1．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标． 解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)， 由上述可知，将代入x2－＝1 得－＝1，化简得－＝1， 即－＝1为曲线C′的方程， 可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求． 2．(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程． 解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2， 得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r. 所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为 ρ＝r(0≤θ＜2π)． (2)法一：把ρ＝，sin θ＝代入ρ＝8sin θ， 得＝8·， 即x2＋y2－8y＝0， 即x2＋(y－4)2＝16. 法二：方程两边同时乘以ρ， 得ρ2＝8ρsin θ， 即x2＋y2－8y＝0. 3．(2015·广东高考改编)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离． 解：由2ρsin＝， 得2ρ＝， 所以y－x＝1， 故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0， 而点A对应的直角坐标为A(2，－2)， 所以点A(2，－2)到直线l：x－y＋1＝0的距离为 ＝. 4．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A，B两点，若|AB|＝2，求实数a的值． 解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝，所以圆心C到直线的距离为＝ ＝， 解得a＝－5或a＝－1. 故实数a的值为－5或－1. 5．设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离． 解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径r＝1，故最小值为－1＝－1. 6．(2016·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标． 解：ρ＝kcos θ－ksin θ， ρ2＝kρcos θ－kρsin θ， 圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0， 即2＋2＝k2， 圆心的直角坐标为. ρsin θ·－ρcos θ·＝4， 直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0， －|k|＝2. 即|k＋4|＝2＋|k|， 两边平方，得|k|＝2k＋3， 或 解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为. 7．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R. (1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标； (2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标． 解：(1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1， 点R的直角坐标为R(2,2)． (2)设P(cos θ，sin θ)， 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ， |PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2， 矩形PQRS周长的最小值为4， 此时点P的直角坐标为. 8．(2016·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求： (1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离． 解：(1)如图，由正弦定理得 ＝. 即ρsin＝sin＝， 所求直线的极坐标方程为ρsin＝. (2)作OHl，垂足为H， 在OHA中，OA＝1，OHA＝，OAH＝， 则OH＝OAsin＝， 即极点到该直线的距离等于. 1 页 共 4 页