高考数学课件-第十一章 几何证明选讲(选修4－1).docVIP

第十一章几何证明选讲(选修4－1) 第一节相似三角形的判定及有关性质 1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． (2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理 (1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方． (2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 4．直角三角形相似的判定定理 (1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 5．直角三角形射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验] 1.(教材习题改编)如图，ABEM∥DC，AE＝ED，EFBC，EF＝12 cm，则BC的长为________ cm. 解析：由E为AD中点，M为BC的中点， 又EFBC?EF＝MC＝12 cm. BC＝2MC＝24 cm. 答案：24 2.(教材习题改编)如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，DEBC且＝2，那么ADE与四边形DBCE的面积比是________． 解析：DE∥BC，ADE∽△ABC， ＝. ＝2，＝， ＝，故＝. 答案： 1．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误． 3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用． [小题纠偏] 1.(2016·鞍山模拟)如图，在ABCD中，E是BC上一点，BEEC＝23，AE交BD于点F，则BFFD的值为________． 解析：因为AD＝BC，BEEC＝23， 所以BEAD＝25，因为ADBC， 所以BFFD＝BEAD＝25， 所以BFFD的值为. 答案： 2.如图，在RtABC中 ，BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，若ABAC＝21，则ADBC为________． 解析：设AC＝k，则AB＝2k，BC＝k， BAC＝90°，ADBC， AC2＝CD·BC， k2＝CD·k，CD＝k， 又BD＝BC－CD＝k， AD2＝CD·BD＝k·k＝k2， AD＝k，AD∶BC＝25. 答案：25 [题组练透] 1．如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBC，若AD＝12，BC＝20，求EF的值． 解：AD∥BC， ＝＝＝， ＝. OE∥AD，＝＝. OE＝AD＝×12＝， 同理可求得OF＝BC＝×20＝， EF＝OE＋OF＝15. 2．如图，在ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，求的值． 解：如图，过点D作DMAF交BC于点M. 点E是BD的中点， 在BDM中，BF＝FM. 又点D是AC的中点， 在CAF中，CM＝MF， ＝＝. [谨记通法] 平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化 (1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用． (2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题． (重点保分型考点——师生共研) [典例引领] 如图，在ABC中，AB＝AC，BAC＝90°，D，E，F分别在AB，AC，BC上，AE＝AC，BD＝AB，且CF＝BC. 求证：(1)EFBC； (2)ADE＝EBC. 证明：设AB＝AC＝3a， 则AE＝BD＝a，CF＝a. (1)＝＝，＝＝. 又C为公共角， 故BAC∽△EFC，