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第7章 方差分析 在实际的生产和经营管理过程中，影响产品质量、数量或销量的因素很多。如何从众多的因素中，分清哪些主要，哪些次要？这就是本节所要研究的内容。一般我们称产品的质量、数量或销量为试验指标，对试验指标起一定影响作用的称为因素或因子(factor)。在众多因素中，有些因素可能对试验指标影响大，有些可能影响小，经常需要分析哪几种因素对生产质量（数量）或销量起决定性的作用，并需知道最优的生产（工艺或销售）条件是什么？方差分析就是解决这些问题的一种有效方法。 1 单因素方差分析模型 ??? 若只考虑一个因素对试验指标的影响，这种分析问题的方法称为单因素方差分析(analysis of variance)，方差分析简称“ANOVA”。该方法的主要目的是：通过试验数据分析推断因素A对指标影响是否显著。 1．问题的一般提法 假定要检验的因子有 m 种水平，X1，X2，…，Xm是m个相互独立的正态总体，分别服从于N（mi，s2），i =1，2，…，m。另外，x ij（i =1，2，…，m；j = 1，2，…，n）是分别服从正态分布抽得的简单随机样本。 则单因素方差分析模型：? ????????? ????????????????????????????? ???εij~ N（0，s2） ? ??2. 显著性检验 ??? 对于上面所提出的多个正态总体均值是否相等的问题，也就是检验假设： ???????????? ????H0：m1=m2=…=mm? 定义： ， ， 则有平方和分解公式： ????????????????????? 其中，Q1被称为组内离差平方和（或误差平方和）。它反映了数据xij在抽样过程中产生总的误差程度的一个评价指标。Q2是各组平均值与总平均值的离差平方和，反映了各总体的样本平均值之间的差异程度，被称之为组间平方和。通过Q2取值的大小可以反映原假设H0是否成立。 ? ??3. F-检验法 构造F-统计量： 给定显著性水平a，查表，当 时，则拒绝H0。 4. 方差分析表 表7-1 方差来源 平 方 和 自 由 度 方?? 差 F-值 因子 误差 总和 Q2 Q1 Q m-1 n-m n-1 S22=Q2/m-1 S12=Q1/n-m S2=Q/n-1 S22/S12 2 双因素方差分析 许多实际问题中，对试验指标的影响不仅仅只有一个因素，可能需要同时考虑几个因素对试验指标的影响。这种同时分析多个因素对试验指标的影响作用大小就是多因素的方差分析，特别如果只考虑两个因素，称之为双因素方差分析。数学模型 … …. ?双因素方差分析数学模型： ?其中：x ijk ?服从N（mij，s2）分布，i =1,2,…,r, j = 1,2,…s, k = 1,2,…,n.且各xijk相互独立； ????? ?m ???是总的平均值； ????? ?a.j ??是因子B（列）的效应值，（行和为零）； ????? ?bi. ??是因子A（行）的效应值，（列和为零）； ????? ?gij ??是交互效应值（所在行或所在列为零）； ???? ??eijk ?服从N（0，s2）分布，且相互独立； 表示水平下的总体平均值与总体平均值的差异，称为水平的效应。 表示水平下的总体平均值与总体平均值的差异，称为水平的效应。 ?2. 提出三个假设： ??????????? H01：a1 = a2 = …= ar = 0 ； ?????? ???????H02：b1 = b2 = … = bs = 0； ?????????? ?H03：g11 = g12 = … = grs = 0； 同样有平方和分解公式：Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 （具体公式及公式推导略） ?3. 方差分析表： ????? 表7-2 方差来源 平方和 自由度 均?? 方 F-值 因子A Q1 r-1 SA=Q1/(r-1) FA=SA/SE 因子B Q2 s-1 SB=Q2/(s-1) FB=SB/SE 交互作用 Q3 (r-1)(s-1) SA′B=Q3/(r-1)(s-1) FA′B=SA′B/SE 误差 Q4 rs(n-1) SE=Q4/rs(n-1) ? 总和 Q rsn-1 ? ? 3 MATLAB实现 MATLAB统计工具箱中单因素方差分析的命令是anova1，且有两种用法： ?????????? 1．p = anova1(X); 1.?????? anova1(X); 其中X为m×n的数据矩阵，p = P{FFα(m-1, n-m)} ，当pα时，接受H0。 注意：anova1还能处理非均衡数据，与处理均衡数据的区别仅在于数据输入的