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上式表明，f(x,y)在一条与x轴夹角为θ，离开原点距离为r的直线上的投影的傅立叶变换等于二维傅立叶变换在与u轴成θ方向上的切片，这就是投影定理，也称之为切片定理。 投影定理示意图 f (x,y) y x θ v u F(u,v) F(r,θ) t s θ 6.3 傅立叶投影重建 傅立叶投影重建的基础就是傅立叶投影定理。 根据投影定理，如果能将不同角度θ1,θ2,…, θn得到的投影值进行傅立叶变换，就可以得到F(u,v)分别在相应角度位置上的切片。当切片趋向无穷多，即取无穷多个投影时，就可获得在 (u,v)平面上的所有F(u,v)值，从而进行傅立叶反变换就可以重建图像f(x,y)。 由此可得，用傅立叶变换法重建图像的步骤如下： ① 根据式（6.12）或式（6.18）对N个不同θ方向上投影进行一维傅立叶变换。 ② 在傅立叶变换空间从极坐标向直角坐标插值。 ③ 利用式（6.15）或离散形式的傅立叶频谱进行反变换得到重建图像。 6.4 卷积逆投影重建 卷积逆投影重建法：以投影切片定理为基础； 傅立叶变换重建法：计算量比较小，但要二维插值，在射电天文学研究中得到应用广泛； 卷积逆投影法：能快速实现，噪声较小时可重建出准确清晰的图像，在X射线CT成像中应用广泛。 在计算投影的一维傅立叶变换F(R,θ)时，R为频域极轴变量。投影数据g(ρ,θ)总是被有限截断。当ρ的取样间隔为d时，在频率R的变化范围将是-d/2～d/2，于是投影切片定理可近似写成: 因为 ，上式记： 由(6.15)可知： 卷积逆投影法重建图像为： 由式（6.21）可知，右边正是投影数据g(ρ,θ)与脉冲响应h(ρ)所表示的滤波器的卷积，h(·)为卷积函数。 求f ’(x,y,θ) 则是在θ角方向上卷积了的投影，因此从式（6.22）求f (x,y)可被认为是求逆投影过程，即卷积逆投影重建法。 式（6.20）所表示的h(ρ)正是频率响应为|R|的滤波器，如下图所示，通常称为重建滤波器。 由此可知，卷积逆投影重建的关键是设计重建滤波器。下面简单介绍重建滤波器的设计。 对式(6.20)求积分： 在离散情况下，重建滤波器被有限截断，设在ρ的变化范围内，对其取M点，采样间隔为d，即ρ= md， 。 * * (数字)图像处理 (Digital) Image Processing 第6章 图像重建 6.1 计算机断层扫描技术 6.2 投影定理 6.3 傅立叶投影定理 6.4 卷积逆投影重建 6.5 代数重建 6.6 三维图像重建的体绘制 发射断层成像系统 反射断层成像系统 透射式断层扫描成像系统 发射断层成像： 发射源在物体内部，将具有放射性的离子（放射元素）注入物体内部，在物体外部检测其经过物体吸收之后放射量。 发射投影成像 如，正电子发射成像（PET：Positron Emission Tomography） 采用在衰减时放出正电子的放射性离子，放出的正电子很快与负电子相撞湮灭而产生一对相背运动的光子。 相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以确定一条射线， 检测器围绕物体呈环形分布， 相对的两个检测器构成一组检测器对，检测由一对正负电子产生的光子。 反射断层成像： 将入射信号（通常是单色平面波）入射到物体上，通过检测经物体散射（反射）后的信号强度来重建。 射线投影成像的基本原理： 人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减， 人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。 入射线 组织对射线的吸收 散射线 散射线 透射投影成像， 图6.2表示等强度的射线透过不同密度分布时的情况， 每块上的数字表示每块的密度或衰减，总的衰减是叠加的， 其中一条射线束通过均匀密度物质的厚块，另一射线通过不等密度的厚块组合，但检测器的记录相同， 因此，投影重建时需要一系列投影才能重建二维图像。 投影重建是利用人体(物体)对射线的能量吸收衰减作用,不同密度的组织具有不同的吸收能力。 入射线 6 2 2 2 入射线 6 1 4 1 入射线 少透射 高密度体 多透射 入射线 低密度体 等强度射线穿透不同组织的情况 6.1 计算机断层扫描技术 CT扫描成像示意图 扫描 CT扫描成像的示意图 计算机 准直器 X射线管 视频监视器 测量电路 检测器 第一代CT 单个探测器 平移－旋转 并行光光束 (From G. Wang) 第二代CT 多个探测器 平移－旋转 小扇形光束 (From G. Wang) 第三代CT 多个探测器 平移－旋转 大扇形光束 (From G. Wang) CT一次平移扫描所获得的输出信号 C