归纳#8226;论证中“大胆”与“仔细”.docVIP

归纳#8226;论证中“大胆”与“仔细” 　　“归纳推理”是从个别事实推演出一般性结论的推理.针对“个别事实”,我们应学会观察、分析,并能作出各种猜想,找出一般规律.我们有时不会解一道题,就是因为我们不注重归纳,只是听老师讲,而老师往往这样总结:“由这几个例子,我们总结归纳出……”实际上,这些归纳总结应该是我们同学的事,只有经常猜测解题方向,才能学会归纳,才能敢于大胆猜想.虽然猜想可能有错误,但指望老师一直引着路,自己就永远走不出自己的路来.因此,我们强调:在学会归纳总结的前提下,应时刻保持大胆猜想的意识,并且我们不只停留在猜测上,而要去积极地论证、仔细地论证.? 　　 　　一、 方法中的“大胆”与“仔细”? 　　 　　学习中我们总结了一类类题型,并归纳出相应的方法,例如“不等恒成立问题”是高中数学中常见题型,老师常常将所用方法归纳总结为:“分离变量”是首选方法.接下来我们就以几个具体的例子,解释方法中的归纳推理如何做到“胆大”、“心细”. 　　 　　例1 已知对一切实数?x∈［1, 2］,不等式x?2+ax+20恒成立,?求实数a的取值范围. 　　 　　解析 　　 　　因为?x∈［1, 2］,分离变量得:?-a-22.? 　　 　　例2 已知对一切x∈?［?π?, 2?π?］,不等式ax+x?sin???x+1≤0恒成立,?求a的取值范围. 　　 　　解析 　　 　　因为?x∈?π?, 32?π?,不等式变型为-a≥?sin???x+1x,令f(x)=?sin???x+1x, f′(x)=?cos???x-1x?2,而x∈?π?, 32?π?时??cos???x≤?0,所以f′(x)?0”.那么如果要分离这里的常数a,必然要碰到将a(2x-3)-2中变量进行分离,必须对x分类讨论,比较麻烦.而借助于图形则相对简单些,因为在直角坐标系中,函数?y=?2ax-3a-2, x∈［1, 2］的图象是线段,只要线段的两个端点在x轴上方就行,因此可得:2a-3a+20且4a-3a+20,解得a的范围是(-2, 2).?这就说明,不等式恒成立问题不一定要分离变量.? 　　应提醒的是,老师说的是对的,任何一类问题的解决虽不可能说哪个方法总是最佳的,但是,相对使用概率大些的方法来说,分离变量是往往最好的,同时这也是一种常规方法.由于“胆大”,每个问题都首先试着分离变量,这样就可将“分离变量”这一常规招数用熟,有利于数学方法的掌握,但方法归纳时,除“大胆”外,应“仔细”,这是因为随着对问题认识的深入,问题解决方向的正确性,不能有半点失误,我们应认真审题,灵活解决问题.? 　　 　　二、 推广中的“大胆”与“仔细”? 　　归纳推理就是依据一类事物中的部分对象具有某种性质特征,推出所有对象都具有这种性质的推理.它是特殊到一般的过程,将特殊问题进行一般化地“推广”是归纳推理的主要功能,这需要我们在仔细观察的基础上,大胆推理. 　　 　　例3 已知函数?y=x+ax (a0),有如下性质:那么该函数在(0, a］上是减函数,在［a, +∞)?上是增函数.? 　　① 研究函数?y=x?2+cx?2和函数y=?x?3+?cx?3(常数c0),?在定义域内的单调性,并说明理由;? 　　② 对函数?y=x+ax、 y=x?2+cx?2和?y=?x?3+cx?3(常数c0)?作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例,研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明). 　　 　　解析 　　 　　设?t=x?2≥0,显然函数y=t+ct在(0, c］上是减函数,在［c, +∞)上是增函数,令x?2≤c得-4c≤x≤4c,令x?2≥c得x≥4c或x≤-4c.?? 　　又因为?t=x?2在(-∞, 0］上是减函数,在［0, +∞)上是增函数,于是利用复合函数的单调性知,函数y=x?2+cx?2在(-∞, ?-4c?］上是减函数,在［-4c, 0)上是增函数,在(0, 4c］上是减函数,［4c, +∞)上是增?函数.????? 　　同理,我们可以得到?y=x?3+cx?3的单调区间:(-∞, -6c］上是增函数,在［-6c, 0)是减函数,在(0, 6c］上是减函数,在［6c, ?+∞?)?上是增函数.? 　　推广结论:当n是正奇数时,函数?y=x?n+ax?n(常数a0)是奇函数,故在(-∞, -2na］上是增函数,在［-2na, 0)是减函数,在(0, 2na］上是减函数,在［2na, +∞)上是增函数.?? 　　而当n为正偶数时,函数?y=x?n+ax?n(常数a0)是偶函数,在(-∞, -2na］上是减函数,在［-2na, 0)是增函数,在(0, 2na］上是减函数,在［2na, +∞)?上是增