关于具有扰动内禀增长率的may-leonard模型的长期动力学分析-long - term dynamic analysis of may - leonard model with perturbation intrinsic growth rate.docxVIP

插图目录2-1对称的May-Leonard方程(2-1)在三种情形下分别从三个不同初值出发的相图。蓝线表示从(1,0.8,0.2)出发的解；绿线表示从(0.52,0.6,0.4)出发的解；红线表示从(0.2,0.21,0.19)出发的解。53-2系统(3-1) 及其基准系统在三种情形下的相图。...............103-3g 的比较(1) 113-4g 的比较(2) 123-5g 的验证：稳定平衡的系统143-6g 的验证：临界平衡的系统155-7点P是系统(5-1)的一个局部稳定平衡点，阴影部分是其稳定邻域被图中三角形所表示的平面x+y+z=C所截的部分，那么点P吸引从以原点为锥尖，过阴影部分边界所成的锥的内部出发的解。25iv第一章引言传统的概念：数学、物理、化学、生物学，都被人们认为是独立的自然学科，然而从20世纪后半叶开始，这些学科互相渗透，各学科之间的分界已渐渐模糊，正是这时，数学与计算机科学逐渐地形成生物现象建模。到今天，生命科学领域中每一项重要发展，几乎都离不开严密的数学方法和计算机的利用。生物系统的数学建模正在变成生物实验中必不可少的组成部分。生物数学是生命科学与数学间的跨领域学科。早在1974年就在联合国科教文组织的学科分类目录列为一级学科。其主要目标是利用数学的技巧和工具为自然界，特别是生物学中的过程建模并进行分析。生物数学在生物学的理论和实践中都有广泛的应用。回顾“生物数学”，已有近百年的历史：从1798年Malthus人口增长模型，1908 年遗传学的Hardy-Weinberg“平衡原理”，1925年Voltera掠食者-猎物模型，1927年Kermack-Mckendrick传染病模型到今天令人注目的“生物信息论”，“生物数学”经历了百年的迅速发展。生物动力学是生物数学的一个重要分支学科，研究生物量以及生物体的形态随着时间而变化的规律。在20年代初，Lotka和Volterra分别在1925 年与1926 年分别独立地把动力学方法用在化学反应系统和海洋渔业系统中，提出了Lotka-Volterra模型：dxidt=xi(bi+m∑j=1aijxj),i=1,2,...,m,其中bi表示ith 种群的内禀增长率。在Lotka-Volterra的模型中，各种群之间可能存在三种关系：1、捕食与被捕食（或寄生物与寄主），此时aij0,aji0；2、两种群相互竞争，此时aij0,aji0；3、两种群互惠共生，此时aij0,aji0。1975 年，May 和Leonard[1] 在三种群完全竞争的Lotka-Volterra 模型的基础上提出了对称的May-Leonard模型：? dx1?? dt=x1(1?x1?ax2?bx3)? ? dx2?dt? dx3?=x2(1?bx1x2ax3)? dt=x3(1?ax1?bx2?x3),其中，0a1b,i=1,2,3.此时所有种群的内禀增长率都固定为1，且是完全竞争的系统。May 和Leonard 给出了该系统的长期动力学性态，即当a+b2，除了连接原点和正平衡点的射线以外的所有正解将渐近于一个连接轴平衡点的异宿环；当a+b=2时，在平面x1+x2+x3=1上存在一族围绕正平衡点的闭轨；当a+b2时，正解将渐近于内部正平衡点。之后, Chi-Hsu-Wu[2] 在此基础上进一步研究了非对称的May-Leonard模型：? dx1?? dt=x1(1?x1?a1x2?b1x3)? ? dx2=x(1?bxx ?ax)(1-1)?dt? dx3?22 122 3? dt=x3(1?a3x1?b3x2?x3),其中，0ai1bi,i=1,2,3,得到了和对称模型相同的结果：令Ai=1?ai, Bi=bi?1, i=1,2,3，当A1A2A3B1B2B3，除了连接原点和正平衡点P的射线以外的所有正解将渐近于一个连接轴平衡点的异宿环；当A1A2A3 =B1B2B3时，存在一族围绕正平衡点的闭轨；当A1A2A3 B1B2B3时，正解将渐近于内部正平衡点。在接下来的第二章中，我们会对May-Leonard和Chi-Hsu-Wu关于自治May-Leonard 方程动力学性态的结论进行详细介绍。已有的May-Leonard模型中各种群的内禀增长率都是相同并且固定不变的。然而自然界中并没有那么理想的条件。种群的内禀增长率往往受到各种因素干扰，而随时间变化。更进一步，这些扰动很多时候是周期的。比如季节，潮汐，昼夜变化等。所以本文进一步改进了非对称的May-Leonard模型，为各种群的内禀增长率加上一个相同的扰动函数?(t)，得到一个时间依赖的非对称的May-Leonard模型：? dx1??dt=x1[1+?(t)?x1?a1x2?b1x3]? ? dx2=x[