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光电子学与光子学2.2-2.3翻译 2.2平面波导中的模间色散和波导色散 A.波导色散图和群速度 一个平板波导中存在的传输模式是由波导条件确定的。从0导最大值的每一个m对应于一个不同的解和一个可能的传播常数βm。可以看到，即使是单色光波入射，每种模式都以一个不同的传播常数传播。图2.7的实验给人们留下的印象是，轴线光波的反射次数最少，因此到达端面的速度更快（更短）于高阶模式光波。高阶模式光波沿着波导方向z字形曲折传播，传播路径更长。然而，这种观点有两个严重的误解。第一，波导中最重要的是能量或者信息传播的群速度vg。第二，高阶模式渗透进入包层较多，包层折射率较低，因此光波传播较快。 从第一章可以知道，群速度vg由dω/dβ决定，其中ω是频率，β是传播常数。对每一个模式m，模式角θ可以明显由式（2.1.3）的波导条件求取，即取决于光波波长（也是频率ω）和波导特性（n1,n2,a）。因此，θm=θm （ω），βm=k1sinθm=βm（ω）是关于ω的函数，给定模式的群速度是关于光的频率和波导性能的函数。可以看到，即使折射率为常数（与频率或波长无关），一个给定的模式群速度vg仍然依赖于与波导结构的波导特性参数相关的频率。 根据式（2.1.3）的波导条件，在给定折射率（n1和n2）和波导尺寸（a）的条件下，可以计算出每个m和ω的βm值，并可以得到波导的ω与βm的关系图，即色散图，如图 2.10所示。在任何频率ω处的切线dω/dβm就是群速度vg。所有允许的传输模式都被包含在斜率c/n1和c/n2的两条线之间。截止频率ωcutoff对应于当V=π/2时的截止条件（λ=λc）。当ωgt;ωcutoff时，波导中不只存在一个模式。从图2.10的实验可以直接看出两点：首先，相同频率的不同模式的群速度不同；其次，一个给定模式的群速度随着光波波长而变化。 因此，群速度不仅与频率有关，还与波导特性参数有关。其实，可以把V值和群速度联系起来，下 面会讨论。 可以用斜率 dω/dβ作为 ω的一个函 数来计算三 个不同模式 的群速度 vg，如图2.11所示。注意，当模式尚未被激发时，vg刚开始很大，数值接近于c/n2（包层中的相速度）；当模式被激发时，vg降低并小于c/n1（纤芯层相速度），并最终在更高的频率下到达c/n1。 图2.10平板波导中不同Tem模式的ω相对于β的色散示意图。ωcutoff对应于V=π/2。在任何频率ω处的群速度vg等于ω相对于β的曲线在该频率点的斜率 图2.11平面介质波导中三个模式的群速度vg与角频率的关系图。该平面介质波导中，n1=1.455,n2=1.440,a=10μm。m=0对应着TE0模式等。 B.模间色散 多模传播过程中，即光波频率大于ωcutoff，在最低模式（m=0时）具有最慢的群速度，接近c/n1，而在最高模式具有最快的群速度。其原因是，高阶模的一部分电场在折射率较小的包层中传播。最低模式基本上包含在纤芯层内。因此，各模式在整个光纤中传输的时间不同，这种现象被称为模态色散或模间色散。模间色散的一个直接后果就是：如果 一个短持续时间的光脉冲信号被耦合到电介质波导中，该脉冲将激发分解为各种模式并沿波导传输。这些模式将以不同的群速度传输。在接收端对不同模式的光脉冲的重构将导致脉冲信号展宽，如图2.7所示。很显然，只允许一种模式（m=0的模式）传播的单模波导中不存在模间色散。 为了评估沿着波导传播信号的模间色散，需要考虑信号通过波导的最短时间和最长时间，这无异于识别波导中由群速度决定的最低和最高模式。如果Δτ表示最高与最低模式通过距离L的传播时间差值，则模间色散定义为 Δτ=（模间色散）（2.2.1）式中，vgmin是最低模式对应的最慢群速度，vgmax是最高模式对应的最快群速度。 从图2.10和图2.11可以明显看出，当ωgt;ωcutoff时，最低模式（m=0）的群速度为vgmin=c/n1。最快的传输对应着最高模式，它的群速度大约为c/n2。因此，近似有 Δτ/L≈（2.2.2）仅考虑两种极端的模式（最低模式和最高模式），而没有考虑是否存在某些中间模式的群速度超出c/n1～c/n2范围之外。另外，式子中也没有考虑不同模式的光能量如何分布。取n1=1.480（纤芯层）和n2=1.460（包层），可以发现Δτ/L≈6.7×10-11s·m-1或者6.7ns.km-1。一般情况下，由于“模间耦合”，即不同传播模式能量交换，模间色散没有预计的那么高。 式子（2.2.2中展宽）分布Δτ是指展宽输出光脉冲两个极值的时间差值。在光电子学