第34计 参数开门 宾主谦恭-跳出题海我有36计之高中数学破题之道（解析版）.doc

跳出题海，我有36计 第34计 参数开门 宾主谦恭 【计名释义】 参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用. 在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩. 有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有” 【典例示范】 【例1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，以为直径的动圆内切于圆.学科-网 （1）求椭圆的方程； （2）延长交椭圆于点，求面积的最大值. 【答案】(1) .(2)3. 【解析】分析：（1）由， 可得， 结合离心率为可得 ，从而可得椭圆方程为： ； （2）直线，由 ，可得，换元后利用基本不等式求解即可. （2）由已知可设直线， 令，原式=，当时， ∴ 点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的. 已知椭圆C；（a＞b＞c）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C相交于D、Q两点，且|DF1|+|QF1|=4，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积的最大值为． （1）求椭圆C的离心率； （2）若过左焦点F1的任意直线与椭圆C相交于S、T两点，求的取值范围． 【答案】(1)(2) [﹣4，﹣] （2）由（1）得椭圆C的方程为． 当直线ST的斜率不存在时，有S（﹣1，）、T（﹣1，），此时． 当直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1）， 再设点S（x1，y1），T（x2，y2）， 将直线ST的方程y=m（x+1）代入椭圆方程消去y并整理得： （4m2+3）x2+8m2x+4m2﹣12=0． 得，． 从而 == ==∈[﹣4，﹣）． 综上所述， 的取值范围为[﹣4，﹣] ． 点睛：该题属于圆锥曲线的综合问题，在解题的过程中，需要明确椭圆的定义和性质，对直线与椭圆的相交问题，应用明确其解题过程及解题思路，在求解的过程中，联立方程组，应用韦达定理写出两根和与两根积，利用向量的数量积的坐标运算求得结果关于m的关系式，从而求得取值范围. 1．已知,满足约束条件，若的最小值为1，则=（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值,即.故选C. 2．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的A,B两点，且，则的面积的最小值为______________. 【答案】 【解析】设直线为,代入抛物线方程得,,,解得,即直线过定点.由弦长公式得,原点到直线的距离,面积为. 【点睛】本小题主要考查想俩个数量积运算,考查直线和抛物线的位置关系,考查弦长公式和三角形面积公式.本题突破口在于所给两个向量的数量积为一个常数,考虑的就是设出直线的方程,然后联立方程写出韦达定理,将这个数量积化简出来,得到一个等量关系,最后化出来后得出的值. 3．函数f（x）=x|x|，若存在x∈[0，+∞）使得不等式f（x﹣2k）＜k成立，则实数k的取值范围为_____． 【答案】 【解析】分析：根据题意时，，讨论和时，存在，使的的取值范围即可． 当时，解得， 存在，使得，即即可， 因为，所以， 所以，整理得，解得， 又因为，所以； 综上，，所以实数的取值范围是． 点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，着重考查了分类讨论思想与转化思想的应用问题，试题有一定难度，属于难题．4．已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．学科=网[来源:Zxxk.Com] （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，当且时，求的面积的取值范围． 【答案】(1);(2). 详解：（1）∵，则为线段的中点，∴是的中位线， 又，∴，于是，且，解得，，[:Z.xx.k.Com] ∴椭圆的标准方程为． （2）由（1）知，，由题意，设直线的方程为，，， 由得，则，． ． ∵，∴，解得． 由消得，设，， 则 ． 设，则，其中， ∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为． 点睛：直线与椭圆相交问题，常常设交点坐标为，设直线方程，由直线方程与椭圆方程联立，