【数据结构(严蔚敏)】图论.pptVIP

* 7.5.2 关键路径 把工程计划表示为有向图，用顶点表示事件，弧表示活动；每个事件表示在它之前的活动已完成，在它之后的活动可以开始。 例 设一个工程有11项活动，9个事件 事件 V1——表示整个工程开始 事件V9——表示整个工程结束 问题：（1）完成整项工程至少需要多少时间？ （2）哪些活动是影响工程进度的关键？ 9 8 7 6 4 5 3 2 1 a1=6 a2=4 a3=5 a4=1 a5=1 a6=2 a7=9 a8=7 a9=4 a10=2 a11=4 问题提出 * 定义 AOE网(Activity On Edge)——也叫边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图，其中顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续时间 路径长度——路径上各活动持续时间之和 关键路径——路径长度最长的路径叫~ Ve(j)——表示事件Vj的最早发生时间 Vl(j)——表示事件Vj的最迟发生时间 e(i)——表示活动ai的最早开始时间 l(i)——表示活动ai的最迟开始时间 l(i)-e(i)——表示完成活动ai的时间余量 关键活动——关键路径上的活动叫~，即l(i)=e(i)的活动 * 问题分析 如何找e(i)=l(i)的关键活动？ 设活动ai用弧j,k表示，其持续时间记为：dut(j,k) 则有：（1）e(i)=Ve(j) （2）l(i)=Vl(k)-dut(j,k) j k ai 如何求Ve(j)和Vl(j)？ (1)从Ve(1)=0开始向前递推 (2)从Vl(n)=Ve(n)开始向后递推 * 求关键路径步骤 求Ve(i) 求Vl(j) 求e(i) 求l(i) 计算l(i)-e(i) 9 8 7 6 4 5 3 2 1 a2=4 a3=5 a5=1 a6=2 a9=4 a1=6 a4=1 a7=9 a8=7 a10=2 a11=4 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 顶点 Ve Vl 0 6 4 5 7 7 16 14 18 0 6 6 8 7 10 16 14 18 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 活动 e l l-e ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 2 2 6 6 0 4 6 2 5 8 3 7 7 0 7 7 0 7 10 3 16 16 0 14 14 0 0 3 3 * V1 V2 V3 V4 V5 V6 a1=3 a2=2 a3=2 a4=3 a5=4 a6=3 a7=2 a8=1 V1 V2 V3 V4 V5 V6 顶点 Ve Vl 0 3 2 6 6 8 0 4 2 6 7 8 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 活动 e l l-e ? ? ? 0 1 1 0 0 0 3 4 1 2 2 0 2 5 3 6 6 0 6 7 1 3 4 1 （1）e(i)=Ve(j) （2）l(i)=Vl(k)-dut(j,k) * 求关键路径算法 参见P185 算法7.13，7.14 算法7.13 Status TopologicalOrder(ALGraph G, Stack T) { FindInDegree(G,indegree); InitStack(S); count=0; ve[0..vexnum-1]=0;while(!StackEmpty(S)){ Pop(S,j); Push(T,j); ++count; //j号入栈T for(p=G.vertices[j].firstarc;p;p=p-nextarc){ k=p-adjvex; if(--indegree[k]==0) Push(S,k); if(ve[j]+*(p-info)ve[k])ve[k]=ve[j]+*(p-info); }//for }//whileif(countG.vexnum) return ERROR;else OK; } // TopologicalOrder * 算法7.14 Status CriticalPath(ALGraph G) { if(!TopologicalOrder(G，T)) return ERROR;vl[0..G.vexnum-1]=ve[G.vexnum-1]; //初始化最迟发生时间while(!StackEmpty(T)) //按拓扑逆序求各顶点的vl值 for(Pop(T,j),p=G.vertices[j].firstarc; p; p=p-nextarc)