标题_2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时达标检测(五十八） 二项式定理.doc

课时达标检测(五十八） 二项式定理 一、全员必做题 1．若n展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x的有理项； (2)展开式中系数最大的项． 解：易求得展开式前三项的系数为1，C，C. 据题意得2×C＝1＋C，所以n＝8. (1)设展开式中的有理项为Tr＋1， 由Tr＋1＝C()8－rr＝rCx， r为4的倍数，又0≤r≤8，r＝0,4,8. 故有理项为T1＝0Cx＝x4， T5＝4Cx＝x， T9＝8Cx＝. (2)设展开式中Tr＋1项的系数最大，则： rC≥r＋1C且rC≥r－1C， 解得r＝2或r＝3. 故展开式中系数最大的项为T3＝2Cx＝7x， T4＝3Cx＝7x. 2．求证：对任何非负整数n,33n－26n－1可被676整除． 证明：当n＝0时，原式＝0，可被676整除． 当n＝1时，原式＝0，也可被676整除． 当n≥2时，原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1 ＝(26n＋C26n－1＋…＋C·262＋C·26＋1)－26n－1 ＝26n＋C26n－1＋…＋C·262. 每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除． 综上所述，对一切非负整数n,33n－26n－1可被676整除． 3．(2018·苏北四市高三第一学期期末)已知等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(1＋x)n. (1)求(1＋x)2n－1的展开式中含xn的项的系数，并化简：CC＋CC＋…＋CC； (2)证明：(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC. 解：(1)(1＋x)2n－1的展开式中含xn的项的系数为C， 由(1＋x)n－1(1＋x)n＝(C＋Cx＋…＋Cxn－1)·(C＋Cx＋…＋Cxn) 可知，(1＋x)n－1(1＋x)n的展开式中含xn的项的系数为CC＋CC＋…＋CC. 所以CC＋CC＋…＋CC＝C. (2)证明：当kN*时，kC＝k·＝＝n·＝nC， 所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝∑ ＝∑ ＝∑＝n∑＝n∑. 由(1)知CC＋CC＋…＋CC＝C， 即∑(CC)＝C， 所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC. 二、重点选做题 1．(2018·苏州市高三月考)设集合M＝{－1,0,1}，集合An＝{(x1，x2，x3，…，xn)|xiM，i＝1,2，…，n}，集合An中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|≤m”的元素个数记为S. (1)求S和S的值； (2)当m＜n时，求证：S＜3n＋2m＋1－2n＋1. 解：(1)S＝8，S＝32. (2)证明：设集合P＝{0}，Q＝{－1,1}． 若|x1|＋|x2|＋…＋|xn|＝1，即x1，x2，x3，…，xn中有n－1个取自集合P,1个取自集合Q， 故共有C21种可能，即为C21， 同理，|x1|＋|x2|＋…＋|xn|＝2，即x1，x2，x3，…，xn中有n－2个取自集合P,2个取自集合Q，故共有C2n种可能，即为C22, 若|x1|＋|x2|＋…＋|xn|＝m，即x1，x2，x3，…，xn中有n－m个取自集合P，m个取自集合Q，故共有C2n种可能，即为C2m， 所以S＝C21＋C22＋…＋C2m， 因为当0≤k≤n时，C≥1，故C－1≥0. 所以S＝C21＋C22＋…＋C2m＜C20＋(C21＋C22＋…＋C2m)＋(C－1)2m＋1＋…＋(C－1)2n ＝(C20＋C21＋C22＋…＋C2m＋C2m＋1＋…＋C2n)－(2m＋1＋2m＋2＋…＋2n) ＝(1＋2)n－(2n＋1－2m＋1)＝3n－2n＋1＋2m＋1. 2．(2018·淮安期中)已知m，nN*，定义fn(m)＝. (1)记am＝f6(m)，求a1＋a2＋…＋a12的值； (2)记bm＝(－1)mmfn(m)，求b1＋b2＋…＋b2n所有可能值的集合． 解：(1)由题意知，fn(m)＝ 所以am＝ 所以a1＋a2＋…＋a12＝C＋C＋…＋C＝63. (2)当n＝1时， bm＝(－1)mmf1(m)＝则b1＋b2＝－1. 当n≥2时，bm＝ 又mC＝m·＝n·＝nC， 所以b1＋b2＋…＋b2n＝n[－C＋C－C＋C＋…＋(－1)nC]＝0. 所以b1＋b2＋…＋b2n的取值构成的集合为{－1,0}. 三、冲刺满分题 1．(2018·南京模拟)设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，nN*，n≥2. (1)设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值； (2)设bk＝ak＋1(kN，k≤n－1)，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(mN，m≤n－1)，求的值． 解：(1)因为ak＝(－1)kC， 当n＝11时，|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|＝C＋C＋C＋C＋C＋C＝