中国矿业大学课件概率论陈兴同老师版一元回归分析.ppt

1.最小二乘估计 例1 最小二乘估计量的性质 例2 求例1中 例3 检验例1中的线性回归是否显著. （2）F 检验 F检验的结果与t检验的结果一致。 事实上，统计学已证明，在直线回归分析中，这二种检验方法是等价的，可任选一种进行检验。 一、决定系数和相关系数 我们把比值 叫 做 x 对 y 的决定系数 (coefficient of determination），记为 r2，即 4．回归系数的区间估计 例5 求例1中当碳含量为0.50时,电阻的置信水平为0.95的置信区间. §2 可线性化的一元非线性回归 例1 解 （1）由 (2)检验假设 反映了由于自变量x的变化引起的因变量 y 的差异，体现了x对y的影响； 而 反映了种种其它因素对y的影响, 这些因素没有反映在自变量中, 它们可作为随机因素看待. 定理1 的最小二乘估计都是无偏的,即 定理2 定理 的无偏估计为 与 且 相互独立 2. 的估计 的无偏估计. 解 由例1得 与 且 相互独立 定理 当H0:b=0成立时, 3．线性回归方程的显著性检验 由 ?当原假设成立时, 自由度为1. （1）t 检验 检验假设 由 ?当原假设成立时, 与 且 相互独立 =该假设检验问题的拒绝域为 解 检验假设 拒绝域为 由例2得 =拒绝 即认为线性回归显著. 定理6 当 时, 检验假设 选取统计量 对给定的显著性水平 的拒绝域为 决定系数的大小表示了回归方程估测可靠程度的高低， 或者说表示了回归直线拟合度的高低。 对给定的x值，由回归方程就可得 的值. 5．预测 当已知最大积雪深度为9.2米时, 就可以预测灌溉面积： =142+364×9.2=3489(公顷). 由灌溉面积y对最大积雪深度x的回归方程 （1）单值预测 (点预测,点估计) 设回归方程为 （2）区间预测 设回归方程为 解 由例1和例2可得 在许多实际问题中，两个变量之间并不一定是线性关系，而是某种曲线关系，应该用曲线来拟合. 在有些情况下，可以进行适当的变量代换，把它线性化，这样就把一个非线性回归问题化为线性回归问题而得以解决. 1.双曲线: 2.幂函数: 3.指数曲线: 4.倒指数曲线: 取对数得 取对数得 5.对数曲线: 6.S 形曲线: 作变换得 在彩色显影中,根据以往经验,形成染料光学 密度与析出银的光学密度之间呈倒指数曲线关系: 已测得11对数据见下表 （1）求出经验回归曲线方程； （2）对回归曲线的显著性进行检验. 0.10 0.14 0.23 0.37 0.59 0.79 1.00 1.12 1.19 1.25 1.29 y 0.05 0.06 0.07 0.10 0.14 0.20 0.25 0.31 0.38 0.43 0.47 x 令 经计算得 例如,矩形的面积S和矩形的两条边长a和b有关系: S=ab a b S 让我们来看一下有联系的变量之间的关系: 上例的特点在于，三个量中任意两个已知，其余一个就可以完全确定. 也就是说，变量之间存在着确定性的关系，并且可以用数学表达式来表示这种关系. 例如,人的身高与体重之间有一定的关系,知道一个人的身高可以大致估计出他的体重,但并不能算出体重的精确值. 其原因在于人有较大的个体差异, 因而身高和体重的关系, 是既密切但又不能完全确定的函数关系. 回归这一术语是1886年英国生物学家高尔顿在研究遗传现象时引进的. 他发现: 虽然高个子的先代会有高个子的后代, 但后代的增高并不与先代的增高等量. 他称这一现象为“向平常高度的回归”. 尔后,他的朋友麦尔逊等人搜集了上千个家庭成员的身高数据: y=0.516x+33.73 (英寸) 分析出儿子的身高y和父亲的身高x大致为如下关系： 这意味着, 若父亲身高超过父亲平均身高6英寸, 那么其儿子的身高大约只超过儿子平均身高3英寸, 可见有向平均值返回的趋势. (x,Y) 采集样本信息(xi,yi) 回归分析 散点图 回归方程 线性关系的显著性检验 对现实进行预测与控制 基本思想 在回归分析中, 当变量只有两个时, 称为一元回归分析; 当变量在两个以上时, 称为多元回归分析. 变量间成线性关系, 称线性回归,变量间不具有线性关系, 称非线性回归. 一元回归 多元回归 线性 非线性