福建省2016年“大梦杯”初中数学竞赛试题(含答案).doc.doc

　　福建省2016年“大梦杯”初中数学竞赛试题(含答案) 2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 900－1100 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy中，已知点B(0，2)，点A在x轴正半轴上且?BAO?30?。将OAB沿直线AB折叠得CAB，则点C的坐标为（ ） A ．(1 B ．3) C ．(3 D ．1) 【答案】 B 【解答】如图，设CD?x轴于点D。 依题意，CA?OA??CAO?2?BAO?60?。 所以，CD? 3，AD? OD。 因此，点C 的坐标为3)。 22222．若实数a，b满足a?3a?2，b?3b?2，且a?b，则(1?a)(1?b)?（ ） A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】 A 【解答】依题意，a，b为方程x?3x?2?0的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，a?b??3，ab??2。 2 (1?a2)(1?b2)?(1?2?3a)(1?2?3b)?9(1?a)(1?b)?9?1?(a?b)?ab??9(1?3?2)?18。 或解：(1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?(a?b)?2ab?ab?1?9?4?4?18。 3．若关于x的方程 为（ ） 222222222x?2x?24x?a??2?0只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的值的总和x?2x?2x?4 1A．?6 B．?30 C．?32 D．?38 【答案】 D 【解答】方程x?2x?24x?a??2?0化为2x2?4x?a?8?0 ……………… x?2x?2x?4 若方程有两个相等实根，则?16?8(a?8)?0，a??6。 a??6时，方程的根x1?x2??1，符合要求。 若x?2是方程的根，则8?8?a?8?0，a??24，此时，方程的另一个根为x??4，符合要求。 若x??2是方程的根，则8?8?a?8?0，a??8，此时，方程的另一个根为x?0，符合要求。 所以，符合条件的a有?6，?24，?8，其总和为?38。 4．如图，在ABC中，AB?6，BC?3，CA?7，I为ABC的内心，连接CI并延长交AB于点D。记CAI的面积为m， DAI的面积为n，则m?（ ） n A．3457 B． C． D． 2334I A（第4题） 【答案】 C mIC【解答】依题意，?。 nIDICACBC??由I为ABC的内心知，。 IDADBD 所以，由等比定理知，BmICACBCAC?BC7?35??????。 nIDADBDAD?DB63 22225．已知x，y为实数，且满足x?xy?4y?4，记u?x?xy?4y的最大值为M，最小值为m， 则M?m?（ ） A．406413631 B． C． D． 315515 【答案】 C 2【解答】由x2?xy?4y2?4，得x2?4y2?xy?4，u?x2?xy?4y2?2xy?4。 2 5xy?4x?y(2x?4y?4)?当?且仅(x?22y)?，?44当x??2y， 即x?? ，5 y? ，或x? ，y??时等号成立。 555 xy的最小值为?41212，u?x2?xy?4y2?2xy?4的最小值为，即m?。 555 3xy?4xyx? 2y，即x? ?(2x?42y?4)?4?(x?22y，当且仅当)?4，y? 或33x?? ，y??时等号成立。 33 4202022，u?x?xy?4y?2xy?4的最大值为，即M?。 333 xy的最大值为 M?m??。 351522222或解：由x?xy?4y?4，得x?4y?xy?4，u?x?xy?4y?2xy?4。 设xy?t，若x?0，则??4；x?0时，x?yt，将y?代入x2?xy?4y2?4， tx 4t2 得x?t?2?4，即x4?(t?4)x2?4t2?0， ……………… x2 由?(t?4)?16t?0，解得?2244?t?。 53 将t?484822代入方程，解得x? ，x??t??代入方程，解得x? ，x??。 335553 44，最小值为?。 35 xy的最大值为 因此，M?8208122012136?4???，m???4?，M?m?。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 1)，B(2，3)，6．在平面直角坐标系内有两点A(1