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第七节 函数的微分 一、微分（differential）的定义 二、微分的几何意义 三、 基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 3、复合函数的微分法则 四、小结 * 一 、微分 概念 二、微分的几何意义 三、 基本初等函数的微分公 式与 微分运算法则 四 、小结 1.问题提出 (1)在实际问题中,我们常常考虑当 时 的变化情况? 例1: 圆钢截面积 ,测量直径D 的误差为△D,由此计算截面积时引起 的误差△S? 解得: 分析: 再例如, (2) 能否找到 的一个近似表达式,要求: 简单 误差小 如上面两个例题: 简单 误差小 一般而言: 对函数 在点 处的增 量 , 考虑到函数的增量 能否写成 形式,这样的常数能否存在. 2、定义 (微分的实质) 由定义知: ?下面要解决的问题就是: 能否写成: 什么条件下A存在,值又是什么? 换言之: 为 的线性主部, 即 定理 证 (1) 必要性 3.可微与可导的关系 (2) 充分性 4.问题的解决 例1 求函数 在x=1和x=3处的微分。 解： 函数 在x=1处的微分为 函数 在x=3处的微分为 例2 解 返回 5.自变量的微分 M N T ） 几何意义:(如图) P 返回 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1、基本初等函数的微分公式 2、函数和、差、积、商的微分法则 结论： 微分形式的不变性 例3 解法(1) 解法(2) 例4 解法(1) 解法(2) 例5 解 例6 解