数学分析在初等数学中一些应用.docVIP

数学分析在初等数学中的一些应用 在阅读现行的初等数学教材时,我们不难发现下列问题： 为什么分数的分母为零时分数没有意义？ 在研究指数函数时，为什么要求且？ 在学习排列公式时遇到：当时，，从而规定．这个规定合理吗？ 对于以上问题，本文将从数学分析的角度试对这些问题作解释． 一、数学分析与初等数学的联系与区别 函数是初等数学中的一个重要概念，也是数学分析中的重要基础概念之一；关于数学分析与初等数学的联系就从函数的定义谈起． 中学阶段对函数曾有两种定义： 定义1，如果在某变化过程中有两个变量、，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，那么是的函数，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，和的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 定义2，如果，都是非空的数集，那么到的映射： 就叫做到的函数，记作 　　　 其中，．原象的集合叫做函数的定义域，象的集合（）叫做函数的值域．函数符号表示“是的函数”，有时简记作函数． 定义1中“是的函数”，同时又是的函数值（），这样就混淆了函数与函数值之间的差别．这是定义１的主要缺陷．从这个意义上说，定义1不是理想的函数定义． 　　进入高中学习，教材出现了定义2，定义2的核心是“对应关系是函数”，它严格地区分了函数与函数值，比定义1前进了一步．定义2与《数学分析讲义》中的函数定义相一致． 　　可以这样认为：随着我们进一步的学习，知识体系的严密性得到加强．这也是客观规律的需要． 　　初等函数能够描述许多自然现象和工程技术中的客观规律，但是只有初等函数还远远不能描述客观规律的需要．数学分析所讨论的函数就能广泛地服务于科学技术和数学理论本身，人们借助于极限、函数方程、微分和积分等工具表述了更多的非初等函数．函数级数就是表述非初等函数的一个重要工具，例如：二阶线性常微分方程 　　　　　　　　　　　 的解就不是初等函数．而这个解却可以用函数级数 　　　　　　　表示． 数学分析实现了由初等到非初等的飞跃。 从运算方面看，由于数的不断扩充，运算的对象和种类也在不断更新、增强，并逐步抽象化．在初等数学时期，仅限于对数、式、向量及一些几何图形，其相应的运算即为代数运算、初等超越运算和几何运算；到了变量数学时期，由于对变量函数等实施运算，由此形成了无限运算——极限运算，进而产生了微分、积分运算．这方面数学分析可以充分体现． 数学分析这门课程所有的重要概念，如连续、导数、定积分、级数与广义积分的收敛以及各种多元函数的积分等，无一不是建立在极限概念的基础之上，这些重要概念又都是在极限存在的条件下讨论的．极限是研究数学分析的基本方法，也是数学分析区别于初等数学的显著标志． 初等数学研究的函数是一元函数，研究的面是平面；而数学分析实现了一元到元，由平面到曲面，由二维到维空间的推广．初等数学中研究的量多以常量为主，研究的图形多以直线形为主．在初等几何中，我们只会计算由直线和圆弧所围成的平面图形的面积．计算由任意形状的闭曲线所围成的平面图形的面积，只有用极限的方法才能得到比较完满的解决．如曲边梯形面积的计算，在数学分析方面为定积分的计算．在无限细分的情况下曲线和直线统一．在初等数学方面，表现为有限形，而在数学分析方面，（）表现为无限形．在求时，又必须将无限的转化为有限的来求．由此可见，初等数学没有办法体现有限与无限的联系，只有数学分析才能把它们有机地结合起来，辨证的思想方法得到体现．　　　　 二、数学分析在初等数学中的应用 　 1.在函数的单调性方面，现行教材给出了函数单调性的定义为：设函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数（减函数）．但在导数的应用时，只是从图象方面看，曲线的切线的斜率为正，即，为增函数，曲线的切线的斜率为负，即，为减函数，没有严格的证明，认识是感性的． 定理（严格单调的充分条件）若对任意有，（或）则函数在内严格增加（或严格减少）． 证明：在内任取二点与，设，函数在上满足微分中值定理的条件．于是， 　　　　　　，． 已知与，所以 　　　　　　即 从而函数在内严格增加（同法可证严格减少）． 现行教材的一次函数：，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，只能从图象去分析，也属于感性认识．而在数学分析方面：对，．当，时，说明是增函数；当，时，说明是减函数． 2.现行教材的直线的斜率只是通过直线的倾斜角的正切函数值来定义，没有作深入的挖掘． 如果通过的两条直线为、，令，则． 当，即时，是增函数． 因为，对于，就有即；　　　　　　　　　　　　　　　从而，可见： 当，时，相应地有．这就说明斜率的另外含义． 3.对于二次函数 ， 由得顶点坐标． 当时，抛物线开口向