微分方程基本概念 - 1.pptVIP

$1.2、基本概念 本课程的主要学习内容-----求方程的解 * 实际 问题 数学模型 求解分析模型 根据求解结果解决实际问题 $1.1 微分方程: 某些物理过程的数学模型 第一章 绪 论 我们这门课程就是学习一类特殊的数学模型----常微 分方程,那么什么叫做常微分方程呢?我们先来看到下面 几个例子: 例1 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程. 解: 设所求的曲线方程为 由导数的几何意义, 应有 即 又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得 故所求的曲线方程为: 例2 物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中, 在时刻 时, 测得它的温度为 10分钟后测量得温度为 试决定此物 解: Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型. 注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍. 例3 R-L-C电路 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 解: 电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 因为 于是得到 这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式. 例4 数学摆 数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点M. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程. 解: Newton第二定律: 取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角 的正方向. 则由Newton第二定律, 得到摆的运动方程为 附注1: 如果研究摆的微小振动,即当 比较小时, 可以取 的近似值 代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程: 附注2: 假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动, 如果阻力系数为 则摆的运动方程为: 附注3: 假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作用,则摆的运动方程为: 微分方程:凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程. 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类2: 分类3: 线性与非线性微分方程. 分类4: 单个微分方程与微分方程组. 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. (1) 积分曲线:一阶微分方程 代表 微分方程的积分曲线. (3)隐式解: 由隐函数表示的微分方程的解. 积分曲线与方向场: 的解 平面上的一条曲线,我们称它 (2) 方向场:设函数 的定义域为 在每一点 处画上一个小线段.其斜率等于 我们把带有这种直线段的区域 称为由方程 规定的方向场. (3) 等斜线:在方向场中,方向相同的点的几何轨迹 称为等斜线.