第八章Mathmatica在.PDF

第八章 Mathematica在 量子力学中的应用举例 §8.1 粒子在中心力场中的运动问题 m M Ze 2 e μ ( ) − 设电子与原子核的约化质量为 m +M , V r r ，哈密 e 顿量为 2 r2 2 2 ˆ ˆ h p ˆ h ∇ H +V(r) − +V(r) . 2μ 2μ 其中r为粒子所处的空间位置到中心势原点的距离。 利用中心势的球对称性，球坐标中的薛定格方程写为 − h2 ⎡∂ ⎛r 2 ∂⎞+⎛⎜ 1 ∂ ⎛sinθ ∂ ⎞+ 1 ∂2 ⎞⎟⎤ψ r ,ϑ,ϕ( ) ( ()) ( ) 2μr 2 ⎢⎣∂r ⎜⎝ ∂r ⎠⎟ ⎜⎝sinθ θ∂ ⎜⎝ ∂θ⎠⎟ sin 2 θ ϕ∂ 2 ⎠⎟⎦⎥ E −V r ψ r,ϑ,ϕ . r r r ˆ ˆ 角动量算符的定义为：L x ×p 。可以证明[L , H ] 0 ， 所以角动量 ˆ 是守恒量，即在中心力场中运动粒子的 L 2 一个重要特征是角动量守恒。由此可以得到ˆ （角动 L 量的平方）也是守恒量。在求解中心力场作用下粒子 2 (ˆ ˆ ˆ ) H ,L ,L 的能量本征方程时， z 构成对易算符的一个完全 集。 2 ⎡ ˆ ⎤ 2 1 ∂ ⎛ 2 ∂⎞ L Δ≡∇ ⎢ ⎜r ⎟− ⎥ 2 2 . r ⎣∂r ⎝ ∂r ⎠ h ⎦ 其中在球坐标中的角动量平方算符可以表示为：