ZDLX6 弹性体地振动.pptVIP

1 第2步：计算系统Tmax及Umax。 设轴的扭振为简谐振动，即 当cosωt=1，即扭振经平衡位置时，动能最大。 式中I——单位长度质量对轴线的转动惯量。 式中GJ——轴截面抗扭刚度。 （2） 当sinωt=1，即扭振达最大振幅时，位能最大。 （3） 第3步：求固有频率。 用机械能守恒定律：Tmax＝Umax得 （4） 显然，ω2是未知参数a1，a2……的函数。我们前边说过，由假定振型函数求得的固有频率总是比实际的偏高，这就提示我们，当按若干种假定的振型函数H(x)而求得固有频率ω2的不同结果时，其中最低的最接近实际。为使ω2最小，必须满足它对ai导数等于零（即极小值条件）： （5） 〔注： 故有 〕 展开为： 把（4）式代入，即 考查（6）式左端第2项，因为 代入上式，提出公因子，得： （6） 但 就写成： （i=1,2,……） （7） 故： 这样就得到一组参数a1，a2……的齐次代数方程。方程的个数和参数的数目相等。要使这组齐次方程有非零解（零解对应无振动），其系统行列式必须等于零。这就是系统的特征方程（频率方程），从中就可求出固有频率。 返 回 例一、用李茨法求悬臂轴（等截面）的基阶和二阶扭振固有频率。 解：选取振型函数： 其中 边界条件应是x=0时，H(0)=0；x=l时 ，即 。经检查H1(x)、H2(x)都满足边界条件，故可选用H(x)作为振型函数。 代入 得： 引入符合 ，上式可写成： 要使a1，a2有非零解，必有： ——特征方程（频率方程） 即 解得：λ1=2.47，λ2=23.56； 或 我们前边由求解偏微分方程得到精确解为 ， ，相比之后发现：按目前假定的振型函数，李茨法得到的基频偏高百分之一，二阶固有频率偏高3％。 例二、求图示锥形悬臂梁的第一、二阶固有频率。 解：用李茨法求梁弯曲振动固有频率的基本思路与轴扭振问题相同。 然后，设梁的弯曲振动为简谐振动； 首先，设满足边界条件的振型函数： 求系统的动能、位能及其最大值。 [注：g——重力加速度，γ——比重，A(x)——截面积，I——惯性矩] 由Tmax＝Umax得 〔注：对于瑞莱法，Y(x)是确定函数，（1）式即可求出固有频率，对李茨法，Y(x)是a1，a2……的函数，故ω2是a1，a2……的函数，须用（2）〕 （1） 显然，ω2是a1，a2……的函数，为使ω2最小，取极值： 最后导致与轴同样的公式： 得到一组关于参数a1，a2……的齐次代数方程，即频率方程，从中求解ω。现在具体得到我们的题目： 即 （i=1,2……） （2） x截面半径： 故x截面面积： x截面对z轴惯性矩： 边界条件 x=0处 （弯矩） （1） （切力） （2） x=l处 Y=0 （挠度） （1） Y′=0 （转角） （2） 我们选取下列位移函数 1、我们先取第一项，即用瑞莱法求基频——公式（1）。 式中每一项（挠度）和它的关于x的导数（转角）在x=l处均为零，这就满足了边界条件（3）、（4）；另一方面，当x=0时I和 场等于零，故也满足了边界条件（1）、（2）。 于是 用瑞莱法可以直接代入（1）式得： 或 2、取前两项，用李茨法——公式（2）。 用S代表二积分差，则： 代入（2）式，得： 整理得： （3） 由a1，a2系数行列式为零得频率方程： 解得： 即 精确解为： 讨论： 1、求得的基频，瑞莱法比精确解高5％，而李茨法（取两项时）只比精确解高0.5％，可见李茨法的精度比瑞莱法高，而且李茨法还可以求出高阶固有频率。 2、李茨法求得的低阶固有频率精度较高，越高阶误差越大。 3、瑞莱法虽然精度不如李茨法，但计算简单，对于基频来说仍是可行的。 关于瑞莱—李茨法的补充说明： 一、由于均质等截面梁、轴、杆等的固有频率，固有振型可以用解析方法求得精确解，瑞莱、李茨法一般用于求解变截面及组合结构固有特性的近似解。 二、瑞莱法选定挠度曲线的一定形状，自然地涉及引进一些附加约束，这些约束将原来具有无穷多自由度弹性系统简化成具有一个自由度的系统。 李茨法则把位移曲线取为若干条曲线的组合，也就是把无穷多自由度问题简化为有限多自由度问题。 若把ω2代入（3）中某式，即得到第二阶振型。 可见，每一