排队论模型教材课程.pptVIP

应用数学系 王海军 whjee@ ;一、背景 例子 顾客在超市排队付款，汽车排队过收费站 旅客在售票处排队购买火车票 病人排队候诊 a. 增加收银台，则增加投资，有可能发生空闲浪费； b. 减少收银台，顾客排队时间太长。 选择最优收银台数;三、常用排队论模型—M/M/s模型 (1) 顾客到达规律： Possion过程 定义1 时间段t内到达的顾客数 ，即 ;顾客到达的时间间隔 独立同 指数分布 ，即; (2) 服务时间：指数分布 服务时间 (3) 排队规则：先到先服务 ;五、M/M/s模型的应用 1. M/M/1系统 1个服务台 (1) 建模 ：时刻t系统内有n个顾客的概率 事件 包含三种情况： 且 内到达一人； 且 内离开一人； 且 内无人到达或离开。 ;根据全概率公式 动态模型： ;稳定状态： 与时间t无关 解此方程组得稳定状态解为： 令 为服务强度，则由 知 ;因而 ●系统平均队长 ●排队等待的平均队长 ●顾客排队逗留时间 顾客到达时间间隔 ，服务时间 ， 顾客排队逗留时间 顾客平均逗留时间 ; ●顾客平均等待时间 例1. 某医院某科室有一位医生值班，每小时平均有4个病人，医生每小时平均可诊治5个病人。如果要满足99％以上的病人有座位，至少应设多少个座位？如果每小时可诊治6个病人，可减少多少个座位？病人平均等待时间是多少？; 解：设病人来到服从Possion分布，医生诊断时间服从指数分布，则该系统是M/M/1系统，且 ; 为满足99％以上的人有座位，设应设m个座位，则;;注：①M/G/1排队模型 顾客到达规律：Poisson过程 顾客接受服务时间：独立同分布于G分布 G分布的期望和方差分别为： 时， ;②M/ /1排队模型 顾客接受服务的时间 服从爱尔朗分布 时，;(3) M/M/1系统的最优服务率;例2 某生产厂家有多台机器,每台机器连续运转的时间服从指数分布,平均为1小时,每台故障机器的损失费为3200元/小时.有1个维修工人,每次维修时间服从指数分布, 每台故障机器的修理费用为100元/小时,求最优的每台机器维修时间. 解: 由题意知;2. M/M/s系统 s个服务台 （1）模型; 记 ，系统稳定的条件： 系统中有 个顾客的概率 ;排队等待平均队长 系统平均队长 顾客在队列中平均等待时间 顾客在系统中平均逗留时间 ; 以s＝2为例，设两个服务台的平均服务时间均为 ，有两种服务方式 (A)M/M/2系统 ;(B)两个M/M/1系统; (3) M/M/s系统的最优服务台数 设顾客等待单位时间带来的损失为 ,单位时间每个服务台的服务成本为 ,则单位时间总费用的期望值为 是等待顾客平均队长.最优服务台数目满足: ;对于 依次计算 及 当已知 满足 时即可确定最优值;解： 由题意， ;② 若设置2个收银台，则为M/M/2系统，其服务强度为;系统内等待的顾客平均数为;五、大型超市购物者付款排队系统优化模型;2. 最优收银台数 系统达到稳定状态时，一个顾客在收费系统 中的平均等待时间不超过顾客能接受的平均 等待时间，求此时的最小收费台开放数 。;收银台有效工作效率为 3. 应用 上海某大型超市客流调查数据：;顾客缴费时间v服从参数为 的指数分布;时段/时;结论： (1) 时段9:00-11:00和17:00-21:00优化的台数 小于实际开放的台数，这些时段实际开放的台数过多； 时段11:00-17:00和21:00-23:00实际开放的台数太少