微积分4.5函数最值及其在经济中的应用教材课程.pptVIP

§4.5 函数最值及其在经济中的应用 函数的最大值和最小值 二. 函数最值在经济中的应用 在许多经济理论与实际实际应用中, 常常遇到这样一类 问题: 在一定条件下, 怎样使: “产品成本最低”,“产品用 料最省”,“效率最高”等问题.这类问题在数学上有时可 归纳为求某一函数的最大值和最小值问题. 一.函数的最大值和最小值 函数?(x)的最值与极值是两个不同的概念, 最值是对整个 定义域而言的, 是整体性的; 极值是局部.最值不仅可以在 [a, b]的内点取得, 也可以在[a, b]的端点取得; 极值只可能 1. 闭区间上函数的最值 一个函数可能有若干个极大值或极小值. 我们知道, 闭区间上连续函数一定有最大与最小值. 由此, 求闭区间[ a, b]上的连续函数 f(x) 的最值时, 只需分别计算 f(x)在开区间(a, b)内的驻点、导数不存在的点以及端点a和b 处的函数值. 然后加以比较, 其中最大者就是函数?(x)在[a , b]上的最大值, 最小者就是函数 ?(x)在[a , b]上的最小值. 在(a, b)的内点取得. 最值最多只有一个最大值与最小值. 而 求闭区间[a, b]上连续函数 ?(x) 最值的一般步骤是: (1) 求出函数?(x)在区间(a , b)内所有可能的极值点(驻点 和一阶导数不存在的点). 设为 x1, x2 , …,xn; (2) 求出相应的函数值 (3)比较(2)中所有函数值的大小, 其最大者为函数?(x)在 闭区间[a , b]上的最大值, 最小者为函数 ?(x)在闭区间[a , b] 上的最小值. 解 (1) f (x)的定义域为(?∞, +∞], (2) (4) 驻点和一阶导数不存在的点处的函数值分别为 例1 解之得驻点为 建立目标函数及其取值区间 求目标函数的最值. 例2 设圆柱形的罐头筒，容积V为常数, 求表面积为最小时,底半径 r 与高 h 之比. 解 设表面积为S，则目标函数为 h r 是可能的极值点且唯一. 点取得极值小值也是最小值. 即半径与高的比为 1/2 时茶杯表面积最小. 二.函数最值在经济中的应用 在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定获 得利润最大的一系列价格策略等.这些问题都可归结为求函 数的最大值和最小值问题. 在本小节的讨论之前, 先对下面所涉及的经济函数作如下 的假定: 设函数 y = ?(x) 是定义在区间 I 上的函数, 且满足 (1) 函数 y = ?(x) 在区间 I 上可导; (2) 如果函数 y = ?(x) 在区间 I 上有最大(小)值; 则最大 (小)值点位于区间I 的内部. 1.平均成本最小 设企业的总成本函数为 C = C(Q) 若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平, 这 就是求平均成本函数的最小值问题. 平均成本函数为 假设在产量 Q = Q0 时, 平均成本达到最小, 则由极值存 在的必要条件, 有 其中, AC 表示平均成本. 即当平均成本达到最小 , MC = AC . 从而, MC = AC 是取得最小平均成本的必要条件. 例3 某工厂生产产量为 Q (件)时, 生产成本函数(元)为 求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出 其最小平均成本和相应的边际成本. 且驻点唯一. 唯一的极小值点. 解 平均成本达到最小, 且最小平均成本为 而边际成本函数为 时, 相应的边际成本为 显然有平均成本(用AC表示)最小时, MC = AC 2.最大利润 设总成本函数为C(Q), 总收益函数为R(Q), 其中 Q 为销 量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为 L= L(Q) ＝ R(Q) – C(Q) 假设产量为 Q0 时, 利润达到最大, 则由极值的必要条件 和极值的第二充分条件, ? (Q0) 必定满足: 可见, 当产量水平 Q = Q0 使得边际收益等于边际成本时, 可获得最大利润. 经济分析中, 常用MR表示边际收益, MC表示边际成本. 即当 MR = MC 时, 可获得最大利润. 这是因为, 假设二者不等, 当MR MC时, 则在产量Q = Q0的基础上再多生产一个单位产品, 所增加的收益大于所 增加的成本, 因而利润有所增加. 若MR MC, 则在产量 Q = Q0 的基础上再少生产一个单位 产品, 所减少的收益小于所减少的成本, 因而利润有所增加. 因此, MR = MC 是取得最大利润的必要条件. 例