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2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） y(x?y)ln(1?)xdy?____________，其中区域D由直线x?y?1与两1．计算??D?x?y 坐标轴所围成三角形区域. 解:令x?y?u,x?v，则x?v,y?u?v，dxdy?det???01???dudv?dudv， 1?1?? y(x?y)ln(1?)ulnu?ulnvxdy???D?x?y??D?uudv uulnuuudv?lnvdv)du??000?u?u 21ulnuu(ulnu?u)???du0?u?u??(1 ?? 令t??u，则u?1?t2 10u2du（*） ?u du??2tdt，u2?1?2t2?t4，u(1?u)?t2(1?t)(1?t)， (*)??2?(1?2t2?t4)dt10 1 ?2?1 016?2315? (1?2t?t)dt?2?t?t?t??5?015?324 2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2? 解:令A??20f(x)dx?2, 则f(x)?____________. ?2 0f(x)dx，则f(x)?3x2?A?2， A??2 0(3x2?A?2)dx?8?2(A?2)?4?2A, 410。因此f(x)?3x2?。 33解得A? x2 ?y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________. 3．曲面z?2 x2 ?y2?2在解:因平面2x?2y?z?0的法向量为(2,2,?1)，而曲面z?2 (x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)与(2,2,?1)平行，因此，由zx?x，zy?2y知2?zx(x0,y0)?x0,2?zy(x0,y0)?2y0， 即x0?2,y0?1，又z(x0,y0)?z(2,1)?5，于是曲面2x?2y?z?0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x?2)?2(y?1)?(z?5)?0，即曲面 x2 z??y2?2平行平面 2 2x?2y?z?0的切平面方程是2x?2y?z?1?0。 4．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则d2y?________________. 2dx 解:方程xef(y)?eyln29的两边对x求导，得 ef(y)?xf?(y)y?ef(y)?eyy?ln29 因eyln29?xef(y)，故11，因此 ?f?(y)y??y?，即y??x(1?f?(y))x d2y1f??(y)y????y??? dx2x2(1?f?(y))x[1?f?(y)]2 f??(y)1f??(y)?[1?f?(y)]2 ?2?2? 323x[1?f?(y)]x(1?f?(y))x[1?f?(y)] ex?e2x???enx x二、（5分）求极限lim()，其中n是给定的正整数. x?0n 解:因 e ex?e2x???enx xex?e2x???enx?nxlim()?lim(1?) x?0x?0nn 故 ee ex?e2x???enx?neA?limx?0nx x2xnxe?e???e?n?elimx?0nx ex?2e2x???nenx1?2???nn?1?elim?e?e x?0nn2 因此 ex?e2x???enx xlim()?eA?ex?0n 三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)? 并讨论g?(x)在x?0处的连续性. 解:由limx?0en?1e2 ?10且limf(xt)dt，x?0f(x)求g?(x)?A，A为常数，xf(x)f(x)?A和函数f(x)连续知，f(0)?limf(x)?limxlim?0 x?0x?0x?0xx 因g(x)??1 0f(xt)dt，故g(0)??f(0)dt?f(0)?0， 01 1x因此，当x?0时，g(x)??f(u)du，故 x0 ?limg(x)?limx?0x?0x0f(u)dux?limx?0f(x)?f(0)?0 1 当x?0时， f(x)， ?0x x1xf(t)dtf(t)dt?0?g(x)?g(0)f(x)A0g?(0)?lim?lim?lim?lim? 2x?0x?0x?0x?02x2xxx 1xf(x)f(x)1xAAlimg?(x)?lim[?2?f(u)du?]?lim?lim2?f(u)du?A?? 0x?0x?0x?0x?0xx0xx22 这表明g?(x)在x?0处连续. g?(x)??x1x2f(u)du? 四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证： （1）xe LLsinydy?ye?sinxdx?xe?sinydy?yes