2011-2013年高中数学竞赛初试及加试试题(含答案).docxVIP

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 ．21世纪教育网2．函数的值域为 ．3．设为正实数，，，则 ．4．如果，，那么的取值范围是 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数，实数满足，，求的值．10．（20分）已知数列满足：R且，N．（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小．yxOPAB11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．加 试1. （40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点．若，证明：．2.（40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：4.（50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值。2011全国高中数学联赛解答1．【答案】. 【解析】提示：显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以，故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合．4．【答案】. 【解析】提示：不等式等价于. 又是上的增函数，所以，故Z)．因为，所以的取值范围是．5．【答案】15000. 【解析】提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有种方案；[21世纪教育网所以满足题设要求的方案数为．7．【答案】或．【解析】提示： 设，由得 ，则，．又，所以， ．因为，所以，即有，即，即，即．显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合．所以，解得．故所求点的坐标为或．8．【答案】15. 【解析】提示：C．9．【解析】因为，所以，所以或，又因为，所以，所以．又由有意义知，从而，于是．所以 ．从而 ．又，所以，故 ．解得或（舍去）．把代入解得．所以 ．10．【解析】（1）由原式变形得 ，则 ．记，则，．又 ，从而有，故 ，于是有 ． （2），显然在时恒有，故． （2）若时，结合（1）的结论可知．直线的方程为：，代入中，消去得．它的两根分别是和，所以，即．所以．同理可求得．所以 ． 2. 【解析】令， ①将①的右边展开即知是一个首项系数为1的正整数系数的次多项式．下面证明满足性质（2）．对任意整数，由于，故连续的个整数中必有一个为4的倍数，从而由①知． 因此，对任意个正整数，有 ．但对任意正整数，有，故，从而．所以符合题设要求．21世纪教育网 4.【解析】 首先证明A中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表第列从上到下填的数依次为．记，这里．我们证明：三组数；及都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在，使，则，即第1行的第至第列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾． 又假如存在，使，则，2012年全国高中数学联赛一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是_____________.6.设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.7．满足的所有正整数的和是_____________.8．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）已知函数（1）若对任意，都有，求的取值范围；（2）若，且存在，使得，求的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．（1）求证：为定值；（2）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹．三、（本题满分50分）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为求证：四、（本题满分50分）设，是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数的最大整数．2012年全国高中数学联赛