离散数学第5章(2).pptVIP

§2. 布尔代数 定义1.布尔代数(Boolean algebra) 有补的分配格(B,?, ?, ?, ? , 0, 1) 称为布尔代数。 注：?布尔代数(B,?, ?, ?, ? , 0, 1)简记为B； 　　?若0=1，则B称为退化的布尔代数。以后， 不讨论此种情况，因此，今后， 假定总有|B|?2； 例1.集合代数(2X, ? ,?, ? ,? , ?, X ) 是布尔代数。 已知集合代数(2X, ? ,?, ? ,? , ?, X ) 是有补的分配格(本章§1例10和例20)，因此是布尔代数。 例2.开关代数 (switching algebra) 。 (S, ? ,?, ? , ? , 0, 1) 是布尔代数。这里：S={0,1}，0?0, 0?1, 1?1,其运算表如下： 通过变元代换，显见表2与表1是完全相同的。令 h:S? 2X , h (0)= ?, h (1)= X　 (这里：X={a}) 则易证h是一个双射的同态函数。 　开关代数(S, ? ,?, ? , ? , 0, 1)与集合代数(2X, ? ,?, ? ,? , ?, X ) 是同构的(这里X={a})，所以开关代数(S, ? ,?, ? , ? , 0, 1)是一个布尔代数。 例3.命题代数(?, ? , ?, ? , ? , F, T) 是布尔代数。 这里：?={F,T}，F ? F, F ? T, T ? T,其运算表如下： 通过变元代换，显见表3与表1是完全相同的。令 h: ?? 2X , h (F)= ?, h (T)= X　(这里 X={a} 则易证h是一个双射的同态函数。 　命题代数(?, ? , ?, ? , ? , F, T)与集合代数(2X, ? ,?, ? ,? , ?, X ) 是同构的(这里X={a}) ，所以命题代数(?, ? , ?, ? , ? , F, T)是一个布尔代数。 注：?利用?，在命题逻辑中可定义逻辑推论(蕴涵)关系?(?)。即 ??? (或? ? ?) ? ?v(?(v)? ?(v)) ?有限布尔代数：对于布尔代数(B,?, ?, ?, ? , 0, 1)，若?n?N，使|B|=n ，则称其为有限布尔代数； 　　?集合代数({?, X }, ? ,?, ? ,? , ?, X )、开关代数(S, ? ,?, ? , ? , 0, 1) 、命题代数(?, ? , ?, ? , ? , F, T)都是有限布尔代数。 　　 例4.n元集合代数(2X, ? ,?, ? ,? , ?, X ) 是有限布尔代数。 这里：X={a1, a2,?, an},因此， |X|=n， |2X|=2n 。 显然，有限集合代数是有限布尔代数。 n元集合代数 是有限集合代数，因此是有限布尔代数。 　 例5.n元(维)开关代数(Sn, ? ,?, ? , ? , 0, 1)是有限布尔代数。这里：Sn={(x1, x2,? , xn)：xi?S(1?i ? n)}= Sn (其中S={0,1})， 0 = (0,0, ?,0)，1 = (1,1, ?,1)，并且 　?x,y?Sn ，x = (x1, x2, ?, xn) ， y = (y1, y2, ?, yn) x ? y ? ?i(1?i ? n) (xi ? yi) x ? y = (x1 ? y1, x2 ? y2, ?, xn ? yn) x ? y = (x1 ? y1, x2 ? y2, ?, xn ? yn) = ( , , ?, ) 即n元开关代数的序关系、运算、最小元和最大元的定义都归结为一元开关代数(S, ? ,?, ? , ? , 0, 1) 。 　现在 来证： 　　(Sn, ? ,?, ? , ? , 0, 1) ? (2X, ? ,?, ? ,? , ?, X ) 这里：X={a1, a2, ?, an}，即 n元开关代数与n元集合代数是同构的。 　从而由n元集合代数是有限布尔代数(例4)，可知n元开关代数(Sn, ? , ?, ? , ? , 0, 1)也是有限布尔代数。 　令：h: Sn? 2X , ?x?Sn ，x = (x1, x2, ? , xn) ， 　　　　h(x)=A?2X (或A?X ) 这里：A={ai：ai? X ? xi =1(1?i ? n)} 因此 ai?h(x) ? ai?A ? xi =1 (1