项目名称分数阶微积分理论及其在信号处理当中的应用研究.PDFVIP

项目名称：分数阶微积分理论及其在信号处理当中的应用研究 提名单位意见： 该项目发现了一套分数阶模型优化算法，进一步奠定了分数阶模型优化算法的理论基 础。该理论推导了完备的分数阶格林公式、分数阶高斯公式、分数阶斯托克斯公式，给出 了广义分数阶欧拉拉格朗日方程的分数阶变分模型以及分数阶梯度下降法的定义和求解 方式；发现了求解分数阶非线性方程的同伦摄动方法，克服了传统摄动方法的一些缺陷， 开拓了新的非线性科学的应用；发现了一类高精度分数阶微分数值掩模，构造出其在八个 方向上的结构，为分数阶模型的数值计算奠定了重要的理论基础。在图像增强、去噪、医 学图像去伪影等领域获得了成果应用，在有效地去除噪声伪影的同时，保留并增强了图像 信号中近似分形的复杂纹理细节，取得了远好于传统方法的效果。该项目成果重点解决了 该领域中分数阶优化算法、分数阶非线性方程与神经网络中的动力学特性、分数阶微积分 数值计算及其在图像处理当中的应用、分数阶硬件防伪等若干关键理论及应用问题，被相 关领域学者大量引用和高度评价，对推动该学科的发展起到了积极重要的作用。 提名该项目为四川省科技进步奖。 项目简介： 分数阶微积分是一种关于整数阶经典微积分理论的数学推广。在数学理论当中，与传 统的标准算子相区别，分数阶微积分算子属于非标准算子。近年来，由于分数阶微积分的 特殊数学性质，其受到了越来越广的关注和应用，使其正逐步成为应用科学领域内的一个 新的学科分支。适合描述它们的数学理论框架是若干年前被确切定义的伪微分算子，其被 视为经典算子的连续内插。关于分数阶微积分算子的理论和应用研究逐步表明，由于分数 阶微积分的分形特征，该算子是一种目前关于流变学、控制系统、信号处理以及计量经济 学等许多复杂自然现象或者社会现象的唯一最佳描述。目前，分数阶微积分已在化学、概 率统计、力学、控制论等方面进行了一些初步的应用研究，取得了一些喜人的成果。在信 号处理领域，传统信号处理的方法大部分是基于整数阶微积分，分数阶微积分的相关理论 研究尚未建立。尽快完善该领域的基础理论，进而成功地将分数阶微积分引入信号处理当 中是该领域需要将解决的难题。本项目尽力十余年，以完善分数阶微积分基础理论体系为 目标，在自然科学基金等基金项目的资助下，重点解决了该领域中分数阶优化算法、分数 阶非线性方程与神经网络中的动力学特性、分数阶微积分数值计算及其在图像处理当中的 应用、分数阶硬件防伪等若干关键理论及应用问题。本项目的发现点包括： 1．发现了一套分数阶模型优化算法，进一步奠定了分数阶模型优化算法的理论基础。 该理论推导了完备的分数阶格林公式、分数阶高斯公式、分数阶斯托克斯公式，给出了广 义分数阶欧拉拉格朗日方程的分数阶变分模型以及分数阶梯度下降法的定义和求解方式。 2. 发现了求解分数阶非线性方程的同伦摄动方法，克服了传统摄动方法的一些缺陷， 开拓了新的非线性科学的应用——分数阶 Hopfield 神经网络，构造其 Lyapunov 能量函数， 并论述了其分数阶阶稳特性和分数阶阶敏特性，进行了该网络的稳定性和收敛性分析。 3．发现了一类高精度分数阶微分数值掩模，构造出其在八个方向上的结构，为分数 阶模型的数值计算奠定了重要的理论基础。在图像增强、去噪、医学图像去伪影等领域获 得了成果应用，在有效地去除噪声伪影的同时，保留并增强了图像信号中近似分形的复杂 纹理细节，取得了远好于传统方法的效果。 客观评价： 该项目研究成果得到了国际同行的广泛引用和评价。部分第三方评价摘要如下： （1）法国奥尔良大学的 Maïtine Bergounioux 教授发表发表在 Neural Networks (89(2017):19–30)上的论文中，对我们发表在 Science China Information Sciences (57(7):1-19, 2014)上的成果有如下评价：分数微积分对纹理分析是非常有用的工具，这 些开拓性工作已由蒲亦非等人完成（The use of derivatives of order in (0,1) is not standard in image analysis though it could be a quite useful tool for texture analysis to our opinion. However, pioneer works have been done (see [26] for example) using a finite dimensional setting.）。 （2）Bab