浙江大学自动控制原理第九章控制系统的非线性问题.pptVIP

相轨迹法是适用于二阶非线性系统的几何解法。一般的二阶系统均可以表示为 也可以用两个联立的一阶微分方程表示，即 两式相除得 解该式可得 这样，以x1为横坐标，以X2为纵坐标，便构成分析系统的相平面。系统的每一状态均相当于平面上的一点，以时间t作为参变量变化时，该点在平面上对应的曲线就是相轨迹。 自动控制原理 §9-3 相轨迹法 自动控制原理 相轨迹的起始点就是初始值[x1(0),x2(0)],其轨迹表示在某一输入激励下系统的反应。如果相轨迹趋于无穷大，则系统不稳定；如果相轨迹趋于原点，则系统稳定；如果相轨迹最后形成围绕原点不断循环的环，则系统存在极限环的持续振荡。 一·相轨迹的作图法 1.解析法 即解微分方程 ，直接得到相轨迹的表达式 。 例: (见P233-234) 自动控制原理 可以看到相平面的一些性质： （1）当选择x作为横坐标时，在上半平面，相轨迹向右移动，箭头向右，在下半平面，相轨迹向左移动，箭头向左。 （2）相轨迹的各条曲线均不相交，过平面的每一点只有一条轨迹； （3）自持振荡的相轨迹是封闭曲线； （4）相轨迹若过x轴，必然垂直穿过。 在作相轨迹时，考虑对称性往往能使作图简化。 设方程为 当 时，相平面图对称于x轴。 当 时，相平面图对称于 轴。 自动控制原理 2.等倾线法 能用解析法作相平面图的系统只限于比较简单的系统，对于大多数非线性系统很难用解析法求出解。 对于一般的二阶系统可表示为 上两式相除得 所谓等倾线是指相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的线。设斜率为k，则 自动控制原理 相应于不同的k值画不同的等倾线，则可以得到相轨迹切线的方向场。从初始点的短倾线顺序画，接近邻近的短倾线即组成相轨迹图，显然等倾线的间隔越密集，相轨迹的精度越高。 例： （见P235） 自动控制原理 二·奇点 奇点即平衡点，是系统处于平衡状态时相平面上的点。此时系统的速度和加速度均为0.以x为横坐标，相轨迹在奇点处的斜率为0/0型。与普通点不同，奇点可以有无数条相轨迹通过，解的唯一性不适用于奇点。 1.正的欠阻尼-——当阻尼比为 时，系统有一对负实部的共轭复根，系统稳定，其相轨迹呈螺线型，轨迹族收敛于奇点，成为稳定焦点。 2.负的欠阻尼——-当阻尼比为 时，系统有一对正实部的共轭复根，系统不稳定，其相轨迹也呈螺线型，但轨迹族是从奇点发散出来的，为不稳定焦点。 3.正的过阻尼——-当阻尼比为 时，系统有两个负实根，系统稳定，相平面内的轨迹族无振荡地收敛于奇点，成为稳定节点。 4.负的过阻尼——-当阻尼比为 时，系统有两个正实根，系统不稳定，轨迹族直接从奇点发散出来，这种奇点称为不稳定节点。 自动控制原理 5.当阻尼比 时，系统有一对共轭虚根，系统等幅振荡，相轨迹为一族围绕奇点的封闭曲线，称为中心点。 6.如果线性二阶系统的 和x项异号，则系统有一个正实根，有一个负实根，系统是不稳定的，其相轨迹呈鞍形，中心是奇点，称为鞍点。 自动控制原理 自动控制原理 自动控制原理 有了奇点的一些概念，便可以利用对奇点的认识较快地画出相轨迹的草图，步骤为： 1.求出奇点 2.在奇点周围附近通过线性化判断奇点的类型，并在奇点附近画出相应的相轨迹线； 3.在远离奇点处用等倾线等方法完成相轨迹图。 课后习题 8、10、12、13、15、17 自动控制原理 自动控制理论 控制系统的非线性问题 第九章 §9-1 概 述 §9-2 描述函数法 §9-3 相轨迹法 课后习题 自动控制原理 §9-1 概 述 严格地讲，所有实际物理系统都是非线性的，总是存在诸如死区，饱和，间隙等非线性现象。所谓线性系统只是在一定的工作范围内，非线性的影响很小，以致可以忽略而已。 对于相当多的闭环系统，可采用第二章所述的线性化方程解决非线性问题；但也有一定数量的非线性问题不能这样处理，只能采用其它的方法。 自动控制原理 一·典型的非线性类型 1.饱和 当输入信号在一定范围内变化时，具有饱和特性的环节其输入输出呈线性关系。当输入信号Xl的绝对值超出一定范围，则输出信号x