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高级中学2013级高三上期一周一练（2） 数学试题（理工类）2012.09.14 数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40）各题答案必需答在答题卡上。 1．命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 2．已知为等比数列，，，则（） A．7 B．5 C． D． 3．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（　 ） A．5 B．9 C．17 D． 33 4．若，则的值是（） A． B． C． D． 5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为且 已知他投篮一次得分的期望是2，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．函数在点处的切线方程为，则（ ）A． B． C． D．4 7．关于式子的结果，有以下结论： ①半径为的圆的面积的二分之一 ②半径为的圆的面积的四分之一 ③长短轴长分别为10和5的椭圆面积的二分之一 ④长短轴长分别为10和5的椭圆面积的四分之一 ⑤该式子的值为 ⑥该式子的值为 其中正确结论的序号为（ ）A．②③⑥ B．①④⑤ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 8．已知函数对任意的都存在,使得则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）把答案填写在答题卡相应位置上. (一)集合，，则为____________ 10．二项式展开式中的系数为的值为____________ 11. 已知等比数列中，，。若，则=____________ 12．直线被园截得的弦长的最小值为____________ （二）选做题（13，14、15题,考生只能从中选做二题,全答的,只计前两题的得分） 13．（几何证明选讲）如图，A，B，C，D四点在同一个圆上， BC与AD的延长线交于点E，若。 求的值____________ 14．（不等式选讲）当时,不等式恒成立，则实数的最大值为____________ 15．（坐标系与参数方程）在极坐标系中,射线与曲线:的异于极点的交点为,与曲线:的异于极点的交点为,则____________ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数的图象与直线相切于点。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ） 求函数的单调区间和极小值。 17．（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为。甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数的分布列及数学期望。 18．（本小题满分14分）已知函数。 （Ⅰ）当时，若函数有零点，求实数的范围； （Ⅱ）若，，求的值。 19．（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱的侧棱长为2，底面是等腰直角三角形，且，是的中点（Ⅰ）求异面直线和所成的角（用反三角函数表示）； （Ⅱ）若为上一点，试确定点在上的位置，使得； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点到平面的距离 20．（本小题满分14分）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为为椭圆的左顶点（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点. （ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线 的方程；如果不存在，请说明理由定义在R上的单调函数，存在实数，使得对于任意,都有：恒成立. 求的值； 若，且对任意正整数有又数列满足 ，求的通项公式. 一、选择题：(40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题：(30分) 9. 10. 11. 9 12. 13． 14. 9 15. 三、解答题：(80分) 16．解： (1) ∵，∴， ∵函数在处的切线方程为， ∴，∴ (2)∵点在直线上， ∴，∴， ∵在的图象上，∴， ∴