上海师范大学高级微观经济学课件例题与附录.docVIP

例6.1 ：厂商的技术是两投入的CES形式，即生产函数的形式为： ，求条件要素需求函数和成本函数。 解：成本最小化问题为 拉氏函数为： 根据下列一阶条件可得： （E.1） （E.2） 根据等式（E.1）和(E.2)可得条件要素需求函数为： 将等式（E.3）和(E.4)带入目标函数可得成本函数为： 数学附录2.1：包络定理 经济分析中常常涉及比较静态研究，其内容是考察外生变量的变化对均衡内生变量的影响。比如在商品价格和消费者收入给定的前提下，效用最大化的消费者决定他对不同商品的消费量，并获得一定的效用。在这里，商品价格和消费者收入都是外生变量，而商品的消费量和效用水平是内生变量。一个自然的问题是，如果商品价格或收入发生变化时，消费者会如何调整他的消费束，他的效用水平又会发生什么变化。利用包络定理可以使这类问题变得十分简单。 1．无约束最大化问题： 其中，a是外生参数，将对应于参数a的最优值点记为x(a)，假设它也是对a可微的，则M(a)≡f(x(a),a)是a的可微函数，利用复合函数求导法则，有： 但按假设x(a)是最大化问题的解，所以一阶必要条件成立： 由此我们得到包络定理： 即是说：欲求最大值关于参数a的导数，只需求目标函数关于参数a的导数，然后代入最优解x=x(a)即可。 2．有约束最大化问题： 构造该问题的拉格朗日函数： 一阶条件为： （1） 设由上述一阶条件所决定的最优解为： （2） 将以上恒等式两边同时微分： 运用一阶条件（即等式（1））进行替代 （3） 由于最优值必须满足约束，对该式关于a求微分： （4） 将等式（4）代入等式（3）可得： （5） 由于，则我们有： 因此最优值M（a）关于参数a的一阶微分即等于拉格朗日函数L关于a的一阶微分，这就是有约束条件下的包络定理。 附录2：恒等式1：的证明 证明：设x(p,m)是问题的解。记。将这样定义的最大效应水平，置换到问题中，我们只要证明x(p,m)依然是最小化支出问题的解即可。 假定最小支出问题的解为x’，,于是有：。令：，，，则： 因为， 所以有： 上式表明消费束在可行消费集合内，并且，由于u是严格单调增函数，因此，即是说x(p,m)不是效用最大化问题的解，这与假设矛盾。因此恒等式1得证。 附录2：斯卢茨基方程及其证明 令为消费者的马歇尔需求，为消费者在价格为和收入为时所达到的效用水平（即），则斯卢茨基方程为： i,j=1,…,n（2.13） 证明：由对偶原理中的恒等式2可知：，对该式两边分别求关于的微分： （2.14） 根据对偶原理中的恒等式3可知：，则等式（2.14）可以转化为： （2.15） 再利用谢泼德引理即等式,并且由于，因此可得： （2.16） 仍由对偶原理中的恒等式2和恒等式3可知： ，将其代入（2.16）,可得： ,再将该式代入（2.15）可得： （2.17） 对（2.17）进行移项整理，即可得到我们所要证明的斯卢茨基方程： i,j=1,…,n 附录4：支出函数e(p,u)是凹函数 1．凹函数的定义： 如果函数对于任意都满足：，，则函数为凹函数。 BC: ; AC: 2．支出函数是凹函数： 据此定义我们可以证明支出函数是关于价格的凹函数。 假定当时，在达到给定效用的情况下，为支出最小化的消费束；当时，在达到给定效用的情况下，为支出最小化的消费束。因此对于其他任何能够实现给定效用的消费束都有： ，， 这意味着：，即：。所以为凹函数。 附录5：交叉价格效应及其对称性 当i≠j时，则等式（2.16）就是商品关于其他商品价格变动的斯卢茨基方程，它反映了其他商品价格变化对商品的需求量所产生的替代效应和收入效应，其中：为交叉价格替代效应（简称交叉替代项），为交叉价格收入效应。 由谢泼德引理有： （2.22） （2.23） 依据杨格（Young）定理，对支出函数求导顺序的改变不会产生差别，即：。因此由（2.22）和（2.23）及杨格定理可得： i, j=1,…,n （2.24） 等式（2.24）表明交叉替代项具有对称性。 附录6：古诺加总规则的证明 证明：对消费者的预算约束方程两边分别求关于的微分，可得： （2.30） 由于，，因此根据上式有： （2.31）