一道高考题的发散性思维训练及教学思考.DOC

一道高考试题的发散性思维训练及教学思考 马兴奎（云南省昭通市实验中学） 【《中国数学教育》杂志】 题目：已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为（ ）。 （A） （B） （C） （D） ， 所以。 令，得。 x -3 （-3，-1） -1 （-1，1） 1 + 0 - y 2 增函数 减函数 2 由此可以看出，，得. 故答案选C。 解法2：由题设知。 设，，则 设，，其中， 则。 因为， 所以，即。 故。 于是，，得. 故答案选C。 解法3：同解法2得 在平面直角坐标系中，作出圆弧和直线，如图1所示。 从图象可以看出，， 于是。 故答案选C。 解法4：由已知得， 所以，， 于是当时，，当或时，， 所以。 故答案选C。 解法5：因为，， 所以应用基本不等式的变形，即， 所以，当且仅当，即时取等号。 同时注意到（或时取等号），， 所以， 于是，，得。 故答案选C。 解法6：构造向量，， 则，，， 又因为， 所以，当且仅当与同向时，即，也即时取等号， 所以，即。 又， 注意到函数的定义域为， 动点在圆第一象限的弧上运动，如图2所示，点A为定点， 所以当，即点P与B或C重合时，即或时，，即，故， 所以答案应选C。 解法7：由平方反解得， 因为， 所以，当或时左边等号成立；当，即时右边等号成立， 于是， 所以。 注意到，所以， 于是，，得。 故答案选C。 解法8： 因为，故两边平方化为， 再平方得。 令， 因为， 所以方程在上有实数解的充要条件是，即。 又因为， 所以，即， 所以，所以， 于是，，得。 故答案选C。 解法9： 因为，所以y与y2的单调性相同， 而在上递增，在上递减， 从而在上递增，在上递减， 故当时，，当或时，， 于是。 故答案选C。 解法10：如图3所示，作以AB=2为直径的半圆，在半圆上任取一点C，设， 则，于是， 显然y随点C的移动而变化，当C在点A或点B时，，当C位于圆弧中点时，即，， 于是，，得。故答案选C。 二、解法探讨 解法1的思路是导数法。闭区间上的连续函数有最大值也有最小值，可利用导数的性质求出函数的最值, 进而求得函数的值域。一般地，当函数较为复杂而使用其他方法未能奏效或无从入手时，我们往往可以使用导数法来进行求解。 解法2的思路是换元法。通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式的最值问题，我们一般可以转化为动直线的斜率问题；对于形如f(x,y)=ax+by+c的最值问题，我们一般可以转化为动直线的截距问题；对于形如f(x,y)=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，我们一般可以转化为动点到定点的距离问题。数形结合法是中学数学中一种重要的思想方法，教学中培养学生要养成见数想形的好习惯，借助形象思维认识处理问题。 解法4的思路是配方法。对于求二次函数y=ax2+by+c(a≠0)或可转化为形如f(x)= 的函数的值域（或最值）之类的问题，我们常常可以通过配方法来进行求解，但要注意g(x)的取值范围。 解法5的思路是不等式法。利用基本不等式（或）（、）、 （、）、（或或）（a、b是正实数）等求出函数的最值进而确定函数的值域，我们特别需要注意等号成立的条件及是否能取得等号。 解法6的思路是向量法。由已知函数式结构与向量数量积的相似性，利用求出函数最大值，而求最小值转化为两向量夹角的大小问题。构造向量直观明了，但有一定的难度，需要发现动点P的运动规律。 解法7的思路是反解法。此法应用范围很广，把函数变成f(x)= g(y)的形式，通过f(x)的范围求y的值域。 解法8的思路是判别式法。形如、（a、d不同时为零）的函数（最好是满足分母恒不为零），我们可以将其转化为p(y)x2+q(y)x+r(y)=0（p(y)≠0）的形式，再通过△=[q(y)]2-4p(y)r(y)≥0求得y的范围。但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出y的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误。 解法9的思路是单调性法。对于形如（a、、、）或，而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法。若函数的单调性不明显可以通过变形，转化为容易判断单调性的另一函数，也可以利用导数、单调性性质、定义等其他方式判断，从而求出函数的值域。 解法10的思路是构造法。构造图形直观明了，但有一定的难度，需要认真研究函数的特点。 三、教学思考 1．解题教学应以整合知识、发散思维和能力为目标 本节课通过一题多解，几乎网络了求函数最值（或值域）的所有方法，整合了知识结构，深化了学生对求函数最值（或值域）的思路、方法的真正领会和理解，为学生从不同角度、不同层次思考问题提供了多维视角，使学生的思维在灵活性、广阔性、深刻性