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可分解的高次不等式的解法 浙江省诸暨市学勉中学（311811） 郭天平 解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，通常解法是化为不等式组或者用列表法或者用数轴标根法求解。本文通过不同解法的比较，来说明“数轴标根法”在求解一类可分解的高次不等式独特之处。 例1 解不等式 解法一：原不等式可化为或 即或，即或 ∴原不等式的解集为 【】 解法二：不等式（或方程）有三个零点，-3，2，4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间。 针对这些区间，逐一讨论各因式的符号，情况列表如下： 因 子 当时 + + + + 当时 + + - - 当时 + - - + 当时 - - - - 从上表可看出的解集为 解法三：先在数轴上标出零点（标出根）。根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是直接标出综合因式的正负号（如上图），再根据题目要求，直接写出解集为 【】的图象草图。(y轴未画) 通过上述三种方法的比较，我们不难看出，用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式直观又简单。具体方法步骤如下： ①将不等式等价化为…形式，并将各因式的系数化“+”；(为了统一方便) ②求出对应方程…的根（或称零点），并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”是指当左侧有相同因式时，为奇数时，曲线在点处穿过数轴；为偶数时，曲线在点处不穿过数轴） ④若不等式（的系数化“+”后）是“”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“”,则找“线”在x轴下方的区间. 例2 解不等式 解析 ①检查各因式中x的符号均正； ②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④∴原不等式的解集为 【】. 若些不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿2点，但满足“=”的条件，不能漏掉. 例3 解不等式 解析 先将原不等式等价化为不等式且， 即且，用“数轴标根法” ∴原不等式的解是 【】的不等式：. 解析 此不等式是含参数的高次不等式，是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对的所处位置进行讨论 ①将二次项系数化“+”并分解为：； ②相应方程的根为：； ③讨论： ⅰ）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为. ⅱ）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为 ⅲ）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为 ⅳ0）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为 ⅴ）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为。 综上所得，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为。 【】与时这两种情况，不少同学容易漏解，不加以讨论。 4 4 -3 2 x -3 4 2 x —— + + —— 0 -1 -3 4 2 x