《线性代数》习题解答(for唐忠明 、滕冬梅书)201392.doc

《线性代数》（唐忠明编著）习题解答 第一章 线性方程组与消元法 【解】 将（3）代入（1）： 于是解得： （2） 【解】 于是解得： （3） 【解】 于是解得： （4） 【解】 （5）与（4）有矛盾，表明：方程组无解 （5） 【解】 最后一方程显然不合理，表明：线性方程组无解 （6） 【解】 注意到：方程为同解方程，表明：在题给的线性方程组中，独立方程仅两个，该线性方程组有无穷多组解 将（4）代入，得 于是有 表明：线性方程组中独立的方程仅一个！ （7） 【解】 注意到：方程（5）与（4）为同解方程，表明：题给线性方程组有无穷多组解。 将（4）代入（1），得 令 于是 书上答案是： 两者的结果实际上是一致的，不妨令 假如用另一常数来表示，则有 、 在形式上就与书上答案一致了。 （8） 【解】 于是有解 注：书上答案是错的，将结果代入方程（3）就不满足；除非，那就是我们的答案。 2、为何值时，下列方程组有解，有解时求出解： 【解】 由（4）、（5）知 （1） 此时，线性方程组变成 于是有解：（） 其中为任意常数 （2） 此时，线性方程组变成 为同解方程，因此线性方程组有无穷多组解， 令（任意常数），则由求得 于是有解：（） 其中为任意常数 第二章 矩 阵 P.19 1、（矩阵乘法的结合律成立） 【证明】根据矩阵乘法的要求左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数时两矩阵才能相乘，且积矩阵的行数等于左矩阵的行数，积矩阵的列数等于右矩阵的列数；积矩阵的第行列元素等于左矩阵的第行元素与右矩阵的第列元素的乘积之和，即 若，则可以相乘，设 ，且 在本题中， 当时，可以相乘，且 命题证明分两步: （1）的行数与列数等于右边的的行数与列数分别相等，即二者为同型矩阵 左边= 右边= 可见，左右两边是同型矩阵，这是两个矩阵相等的必要条件 （2） 表明：左右两边对应元素均相等。 由此证得 2、是矩阵，证明： 【证明】 利用数学归纳法证明 当时，证明： 设 证明与为同型矩阵 ）为矩阵，故为矩阵；而为矩阵，为 矩阵，故也为矩阵，即为同型矩阵。 再证明两边的对应元素相等： 左边：的第行列元素就是的第行列元素，它等于第行元素与的第列元素乘积之和，即 右边：的第行列元素就是的第行元素与的第列元素乘积之和，也等于第列元素与第行元素乘积之和，因此有 于是时，等式成立，即假设 成立，需证明：当时，等式也成立，即证 由此可见，命题成立。 3、设是同阶的可逆矩阵，证明：也是可逆矩阵，且 【证明】因为均可逆，故有 则有 （）（）= 上式表明：（1）（）是（）的逆矩阵； （2） 4、设矩阵 求； 若矩阵满足，求； 若矩阵满足，求； 若矩阵满足，求 【解】（1） （2） （3） （4） 注：书上答案有错 5、设 求和 【解】（1） ； （2） （3） 6、设 求 【解】（1） （2） 7、若，则称可交换。求出所有与可交换的矩阵。 【解】设能与交换的矩阵为 这是一个的齐次线性方程组，用初等变换的方法求解： 有效的线性方程仅两个： 不妨选作自由未知量， 取 于是得其次线性方程组的基础解系为 相应的结构解（即通解）为 其中为任意常数。 于是与可交换的二阶矩阵为 8、设 其中互不相同。求出所有与可交换的矩阵。 【解】令，且由题意可知，即 由矩阵相等的定义可知有效的方程是 表明：满足条件的阶矩阵的非对角元素全部为零，即为一对角矩阵： 9、证明：每个方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对矩阵的和。 【证明】对称矩阵与反对称矩阵的定义如下： 为阶方阵，且，则称为对称矩阵； 若为阶方阵，且，则称为反对称矩阵 在本题中，若为已知