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三角函数在圆锥曲线中的应用及推广 纵观高考近几年出题可以看到，三角函数与向量结合作为一种给出题目信息的载体已经多见，但它作为一种解题工具却总被人们忽视。而三角函数本身所拥有的特性，有时为解题带来一种全新的思路，现在我就谈谈三角函数在圆锥曲线中的应用。 （一）三角函数与圆锥曲线有诸多相似之处。（内在联系） 由图（1—1）可知，在三角函数中 在圆锥曲线中有 由①②③④⑤⑥可知，都存在 [平方与“1”] 故有：圆 椭圆 双曲线 不难发现，在解题时则引以适当选择利用三角。 （二）具体应用示例 例① 设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率。已知点到这个椭圆上的点最远距离为，求椭圆的方程并求椭圆上到点P的距离为的点的坐标。 分析：此题按常法设椭圆方程，再根据题目条件可解出方程，但此方法过于烦锁，容易出错，如果利用三角代换便可化简。 解：设椭圆的参数方程为 其中＞＞0且0≤＜2 （、是待定的） 由 即 再设椭圆上的点到点的距离为，则 = = = 假若即，则当时有最大值. 由题设有 与矛盾，因此必有即 于是时，有最大值. ，则. ∴椭圆方程为，由，. ∴椭圆上的点为和到的距离为. 例②已知两圆和. 求大圆被小圆截得劣弧长. 分析：初看题可知，只要算出劣弧的圆心角使可知弧长，要求角度使可利用参数方程. 解：设点为由对称性可知. ∵在小圆上 ∴ 即， ∴ ∴ ∴劣弧长是. 例③ 已知过定点，，， 动点满足. （1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型. （2）当=2时，的最大、最小值. 解：（1）略. （2）当=2时，方程式为， 设 则 ∴= ∴= = ∴ （三）推广 三角函数不仅仅只能用于圆椎曲线中，只要有三角形似的条件便可利用三角函数. 例④ 已知圆满足①截轴所得弦长为2，②被轴分成两段圆弧，其弧长比为3：1，在满足①②条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程. 解：设圆心为，半径为，则有 ， 则与直线的距离. 通法：平方有 ∵ ∴ 而 ∴ ∵ ∴ ∴当且仅当 即，成立. 由图象关系有，或，满足题意. ∴方程为或 观察题目，发现中有“平方与1”可联想三角函数. ∵令， ∴== 令求即可，则 = ∴ ∴ 下同通法. 由以上几道题目可以理解到，三角作为一种有利的工具很大机会会出现在题目当中。这就得我们在平时做练习时多总结多想。希望我的意见会为你带来一种解题新途径. 用递推思想解决“错排问题” 奋斗中学高三0406班 戴强荣 指导老师：李国梅 在1993年的数学高考试卷中出现了一道至今都影响深远的四元错排问题：（1993年理文（17））同室四人各写一张贺年卡，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 我们早已知道，结果为9种. 解法很多在此不再赘述. 本文想研究的是由此引申出的更一般化的元错排问题. 即“个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少.” 查数学历史资料可知，这其实是一个年轻而古老的问题，最先由利克努斯·贝努利（Niklaus Bernoulli ，1622—1708）提出，后来大数学家欧拉（Euler）等都有所研究. 1、以下给出数学家们的推导结果： 记表示个元素全部错位的所有排列种数，则“元错排”问题的一般解表达式为 = 可解释为：给出，显然方法种数“过剩”了，可去掉某人恰拿到自写贺年卡的情况，此时其他人的错位即，因个人等可能，故乘以；即；但又“不足”了（多减了）. 多减的情况恰含又有一个人拿到自己写的贺年卡，于是但又“过剩”了，……；最后有 由上式很容易求出“五元错排”结果为44种. 事实上，用上述方法推理，就是反复考虑包含与排斥的情形，这当然是在利用容斥原理去解决的. 2、有人还用行列式去解 个人；张贺年卡（），求错排数，列阶行列式： 行列式展开为多项式后，让所有项取正号的结果为所求. 3、本文欲用递推的思想去解决错排问题，即用一个简单的递推公式予以解决. 下面给出推导过程： 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成： 第一步，“错排”1号元素（将1号元素排在第2至第个位置之一）有种方法. 第二步，“错排”其余个元素，按如下顺序进行. 视第一步的结果，若1号元素落在第个位置，第二步就先把号元素“错排”好，号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：（1）号元素排在第1个位置，留下的个元素在与它们的编号集相等的位置上“错排”；有种方法；（2）号元素不排第1个位置，这时不将第1个位置看成第个位置，于是形成（包括号元素在内的）个元素的“错排”，有种方法. 根据加法原理，完成第二步共有 种方法. 根据乘法原理，个不同元素的错排种数 显然， 很明显，用这个简单的递推公式解决错排问题